Когомологии

- термин, употребляемый по отношению к функторам гомологической природы, которые, в отличие от гомологии, как правило, контравариантно зависят от объектов основной категории, на которой они определены. В отличие от гомологии, связывающие гомоморфизмы в когомологической точной последовательности повышают размерность. В типичных ситуациях когомологии возникают одновременно с соответствующими гомологиями. Е. Г. Скляренко. Когомологии топологического пространства - градуированная группа [img: http://localhost:8080/file/021221-94.jpg] которая ставится в соответствие топологич. пространству и абелевой группе G. Понятие К. двойственно понятию гомологии (см. Гомологии теория, Гомологии группа, Александрова- Чеха гомологии и когомологии). Если G- кольцо, то в группе Н*(X, G)определено естественное умножение (произведение Колмогорова - Алекса н дера или U-п роизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо (кольцокогомологий). В случае, когда X- дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий Н*(X, R)может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на X(см. де Рама теорема). Когомологий со значениями в пучке абелевых групп - обобщение обычных когомологий топологич. пространств. Имеются две теории когомологий со значениями (или с коэффициентами) в пучках абелевых групп: когомологий Чеха и когомологий Гротендика. Когомологий Чеха. Пусть X- топологич. пространство, [img: http://localhost:8080/file/021221-95.jpg] - пучок абелевых групп на X, [img: http://localhost:8080/file/021221-96.jpg] - открытое покрытие пространства X.n-мерной коцепью покрытия [img: http://localhost:8080/file/021221-97.jpg] наз. отображение f, к-рое всякому упорядоченному набору [img: http://localhost:8080/file/021221-98.jpg] такому, что [img: http://localhost:8080/file/021221-99.jpg] сопоставляет сечение fi0...in пучка Fнад Ui0...in. Множество всех re-мерных коцепей [img: http://localhost:8080/file/021221-100.jpg] является абелевой группой относительно сложения. Кограничный оператор [img: http://localhost:8080/file/021221-101.jpg] определяется следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/021221-102.jpg] где символ [img: http://localhost:8080/file/021221-103.jpg] означает, что соответствующий индекс опускается. Последовательность [img: http://localhost:8080/file/021221-104.jpg] является комплексом (комплекс Чеха). Когомологий этого комплекса обозначаются [img: http://localhost:8080/file/021221-105.jpg] и наз. когомологиями Чеха покрытия [img: http://localhost:8080/file/021221-106.jpg] со значениями в [img: http://localhost:8080/file/021221-107.jpg] Группа [img: http://localhost:8080/file/021221-108.jpg] совпадает с группой [img: http://localhost:8080/file/021221-109.jpg] сечений пучка F. При вычислении этих когомологий комплекс Чеха можно заменить его подкомплексом, состоящим из альтернированных коцепей, т. е. коцепей, меняющих знак при перестановке двух индексов и равных 0 в случае, когда два индекса совпадают. Если покрытие [img: http://localhost:8080/file/021221-110.jpg] вписано в [img: http://localhost:8080/file/021221-111.jpg] т. е. для каждого [img: http://localhost:8080/file/021221-112.jpg] указано [img: http://localhost:8080/file/021221-113.jpg] так, что [img: http://localhost:8080/file/021221-114.jpg] то определен канонический гомоморфизм Н п [img: http://localhost:8080/file/021221-115.jpg] Н п ([img: http://localhost:8080/file/021221-116.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021221-117.jpg]), не зависящий от вписывания т. n-мерная группа когомологий Чеха пространства Xсо значениями в [img: http://localhost:8080/file/021221-118.jpg] определяется формулой: [img: http://localhost:8080/file/021221-119.jpg] где индуктивный предел берется по направленному (по отношению вписанности) множеству классов открытых покрытий (два покрытия эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое из них можно вписать в другое). Определение когомологий Чеха применимо и к предпучкам. Недостатком когомологий Чеха является то, что они (для непаракомпактных пространств) не образуют когомологич. функтора (см. Гомологический функтор). В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/021221-120.jpg] - постоянный пучок, соответствующий абелевой группе [img: http://localhost:8080/file/021221-121.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/021221-122.jpg] совпадают с когомологиями Александрова - Чеха с коэффициентами в группе [img: http://localhost:8080/file/021221-123.jpg] Когомологии Гротеидика. Рассматривается функтор [img: http://localhost:8080/file/021221-124.jpg] из категории пучков абелевых групп на Xв категорию абелевых групп. Правые производные этого функтора наз. n-мерными группами когомологий Гротендика со значениями впучке [img: http://localhost:8080/file/021221-125.jpg] и обозначаются [img: http://localhost:8080/file/021221-126.jpg] n=0, 1,.... Точной последовательности пучков абелевых групп [img: http://localhost:8080/file/021221-127.jpg] соответствует точная последовательность [img: http://localhost:8080/file/021221-128.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/021221-129.jpg] образуют когомологич. функтор. При этом [img: http://localhost:8080/file/021221-130.jpg] Если- [img: http://localhost:8080/file/021221-131.jpg] вя лый пучок, то [img: http://localhost:8080/file/021221-132.jpg] Эти три свойства когомологий Гротендика характеризуют функтор [img: http://localhost:8080/file/021221-133.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021221-134.jpg] однозначно с точностью до изоморфизма. Для вычисления когомологий Гротендика пучка [img: http://localhost:8080/file/021221-135.jpg] можно воспользоваться левой резольвентой пучка [img: http://localhost:8080/file/021221-136.jpg] состоящей из пучков, когомологий Гротендика к-рых равны 0 в положительных размерностях. Напр., на произвольных топологич. пространствах можно взять резольвенту из вялых пучков, а на паракомпактных пространствах - из мягкий пучков или из тонких пучков. Когомологий Гротендика связаны с когомологиями покрытий следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021221-137.jpg] -открытое покрытие пространства X. Тогда существует спектральная последовательность [img: http://localhost:8080/file/021221-138.jpg] сходящаяся к [img: http://localhost:8080/file/021221-139.jpg] и такая, что [img: http://localhost:8080/file/021221-140.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021221-141.jpg] - предпучок, сопоставляющий открытому множеству [img: http://localhost:8080/file/021221-142.jpg] группу [img: http://localhost:8080/file/021221-143.jpg] Если когомологий всех [img: http://localhost:8080/file/021221-144.jpg] со значениями в [img: http://localhost:8080/file/021221-145.jpg] равны 0 в положительных размерностях, то последовательность вырождается и [img: http://localhost:8080/file/021221-146.jpg] (теорема Лере). В общем случае спектральная последовательность определяет функторный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/021221-147.jpg] и, после перехода к пределу,- функторный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/021221-148.jpg] Последний гомоморфизм биективен для n=0, 1, инъективен (но, вообще говоря, не сюръективен) для n=2 и биективен для всех п, если Xпаракомпактно. Таким образом, для паракомпактного пространства X [img: http://localhost:8080/file/021221-149.jpg] Обобщением определенных выше групп когомологий являются группы когомологий [img: http://localhost:8080/file/021221-150.jpg] с носителями в семействе Ф. Семейство Ф замкнутых подмножеств пространства Xназ. семейством носителей, если 1) замкнутое подмножество любого множества из Ф принадлежит Ф; 2) объединение любых двух подмножеств из Ф лежит в Ф. Группы [img: http://localhost:8080/file/021221-151.jpg] определяются как правые производные функтора [img: http://localhost:8080/file/021221-152.jpg] где Г Ф (Х, [img: http://localhost:8080/file/021221-153.jpg] - группа сечений пучка [img: http://localhost:8080/file/021221-154.jpg] носители к-рых лежат в Ф. Они образуют когомологич. функтор. Если Ф - семейство всех замкнутых множеств, то [img: http://localhost:8080/file/021221-155.jpg] Другой важный частный случай: Ф = с - семейство всех компактных подмножеств. Группы [img: http://localhost:8080/file/021221-156.jpg] наз. группами когомоло- гий с компактными носителями. В случае, когда F- пучок колец, в группе [img: http://localhost:8080/file/021221-157.jpg] естественным образом определяется умножение, превращающее ее в градуированное кольцо (кольцо когомологий). При этом ассоциативность в пучке [img: http://localhost:8080/file/021221-158.jpg] влечет за собой ассоциативность умножения в Н*(X, [img: http://localhost:8080/file/021221-159.jpg] а пучок коммутативных колец или колец Ли приводит к градуированно-коммутативному кольцу или градуированному кольцу Ли когомологий соответственно. Если [img: http://localhost:8080/file/021221-160.jpg] - пучок модулей над пучком колец [img: http://localhost:8080/file/021221-161.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021221-162.jpg] являются модулями над кольцом О [img: http://localhost:8080/file/021221-163.jpg] когомологиях со значениями в пучке неабелевых групп см. Неабелевы когомологий.