Когомологии алгебр

- группы [img: http://localhost:8080/file/021222-5.jpg] (см. ФункторExt), где D - ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом Кс фиксированным гомоморфизмом K-алгебр [img: http://localhost:8080/file/021222-6.jpg] позволяющим рассматривать кольцо Ккак Л-модуль, a А есть R-модуль. Это определение охватывает наиболее распространенные теории когомологии нек-рых типов (универсальных) алгебр. Впервые группы когомологии групп во всех размерностях были введены С. Эйленбергом и С. Маклейном [3] в связи с топологич. исследоваяиями и Д. К. Фаддеевым [5] - с чисто алгебраич. точки зрения - как группы классов обобщенных систем факторов, в 40-х гг. 20 в. Ранее изучались в той или иной форме когомологии групп в малых размерностях (см. [1], [2], [4]). Примеры групп когомологии. 1) Если К= Z - кольцо целых чисел, G-группа, Д = ZG - групповая алгебра группы Gнад Z, [img: http://localhost:8080/file/021222-7.jpg] то группы Hn{R, А)наз. группами когомологии группы Gс коэффициентами (или со значениями) в Д-модуле Аи обозначаются Hn(G, A). Можно вместо группы Gрассмотреть моноид Gи аналогично получить группы когомологии Hn(G, А)моноида G.2) Если S- ассоциативная К-алгебра, S0 - антиизоморфная ей K-алгебра, [img: http://localhost:8080/file/021222-8.jpg] то группы Hn(R, А)наз. группами когомологии ассоциативной алгебры Sс коэффициентами в S-бимодуле А(т. е. в R-модуле А)и обозначаются Hn(S, А). Если К - поле, то группы Hn(S, А)наз. группами когомологии Хохшильда Z-алгебры S. 3) Если S-алгебра Ли над полем К, R= US- ее универсальная обертывающая алгебра с пополнением [img: http://localhost:8080/file/021222-9.jpg] то группы Hn(R, А)наз. группами когомологийалгебры Л и S с коэффициентами в US -модуле А(т. е. в лиевом S-модуле А)и обозначаются Hn(S, А). При n=0, 1, 2 группы когомологий в ряде случаев допускают простую интерпретацию. а) Если G- группа, то группа H0(G, А)изоморфна группе [img: http://localhost:8080/file/021222-10.jpg] инвариантных элементов; группа H1(G, А)изоморфна факторгруппе Der(G, A)/Ider(G, А), где [img: http://localhost:8080/file/021222-11.jpg] - группа дифференцирований (или скрещенных гомоморфизмов), [img: http://localhost:8080/file/021222-12.jpg] -группа внутренних дифференцирований (или главных скрещенных гомоморфизмов), при этом точна последовательность [img: http://localhost:8080/file/021222-13.jpg] для абелевой группы Gгруппа H2(G, А)изоморфна группе расширений группы Ас помощью группы G(см. Бэра умножение);третья группа когомологии группы Gсвязана с препятствиями для расширений (см. [9], гл. IV). б) Если S- ассоциативная K-алгебра, то группа H0(S, А)изоморфна группе [img: http://localhost:8080/file/021222-14.jpg] группа Я 1 (S, А)изоморфна факторгруппе [img: http://localhost:8080/file/021222-15.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021222-16.jpg] группа H2(S, А)описывает сингулярные расширения S-бимодуля Ас помощью кольца S(см. [14]). в) Если S- алгебра Ли, то группа H0(S, А)изоморфна K-модулю [img: http://localhost:8080/file/021222-17.jpg] группа H1(S, А)изоморфна факторгруппе [img: http://localhost:8080/file/021222-18.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021222-19.jpg] двумерная группа когомологии H2(S, А)алгебры Ли соответствуют K-расщепляющимся расширениям алгебр Ли (см. [6], гл. XVI); в нек-рых случаях элементы группы H3(S, А)являются препятствиями в задаче о расширении. Группы когомологии находят широкое применение в различных областях алгебры. Так, напр., если G- группа и H2(G, А) = 0 для всех ZG-модулей А, то G- свободная группа (теорема Столлингса, см. Гомологическая размерность). Если G- группа, С* - мультипликативная группа поля комплексных чисел, то группа М(G) = H2(G, С*) наз. мультипликатором Шура группы G. Она играет важную роль при изучении центральных расширений групп и в теории проективных представлений конечных групп [1]. Если G- группа, А- ZG-модуль и рА=0 для простого числа р, то [img: http://localhost:8080/file/021222-20.jpg] где k=GF(p)- поле из рэлементов. Если G- конечная р-группа, то d(G)=dimk H1(G, k)- минимальное число образующих группы G,r(G) = dimk H2(G, k) - минимальное число определяющих соотношений для G, рассматриваемой как про-р-группа, [img: http://localhost:8080/file/021222-21.jpg] где R(G)- минимальное число соотношений дискретной группы G. Тот факт, что r(G)- d(G)стремится к бесконечности при [img: http://localhost:8080/file/021222-22.jpg] приводит к отрицательному решению проблемы башни полей, проблемы Куроша о нильалгебрах и общей проблемы Бернсайда [10]. Если G- про-р-группа, [img: http://localhost:8080/file/021222-23.jpg] - семейство всех ее открытых нормальных делителей, то группа [img: http://localhost:8080/file/021222-24.jpg] наз. п- йгруппой когомологии про-р-группы С с коэффициентами в ZG-модуле Аи обозначается Hn(G, А). Если Е- расширение Галуа поля Lс группой Галуа G=G(E/L), то группа Gявляется про-р-группой, группы Hn(G, А)наз. группами когомологий Галуа. Важную роль играют группы Hq(G, Е*), где Е*- мультипликативная группа поля Е. Так, H1(G, E*)=0, а следствием этого факта является известная теорема Гильберта (о циклических расширениях) 90. Если же Е- сепарабельное замыкание поля L, то группа H2(G(E/L), Е*)наз. группой Брауэра поля L(см. Брауэра группа). В настоящее время (1978) развита теория Галуа коммутативных колец, в к-рой существенную роль играют когомологий Галуа коммутативных колец и группа Брауэра. Если S- ассоциативная алгебра, то из H2(S, S) = 0 следует, что алгебра Sжесткая (см. Деформация, алгебры). Группы когомологий Hn(R, А)в нек-ром смысле двойственны группам гомологии [img: http://localhost:8080/file/021222-25.jpg] ассоциативной K-алгебры Rс коэффициентами в R-модуле А. Если G-группа, R=ZG и К=Z, то группы Hn(R, А)наз. группам игомологийгруппы Gс коэффициентами в R-модуле Аи обозначаются Н n(G, А);если S- ассоциативная K-алгебра и R= [img: http://localhost:8080/file/021222-26.jpg] то группы Hn(R, А)наз. группами гомологии ассоциативной алгебры Sс коэффициентами в S-бимодуле Аи обозначаются Hn(S, А);если S - алгебра Ли и R=US- ее универсальная обертывающая алгебра, то группы Hn(R, А). наз. группами гомологии алгебры Л и Sс коэффициентами в лиевом S-модуле Аи обозначаются Hn(S, А). Группы гомологии в малых размерностях в ряде случаев также допускают простую интерпретацию. Так, если G - группа, то H0(G, Z) [img: http://localhost:8080/file/021222-27.jpg] Z, H1(G, Z) [img: http://localhost:8080/file/021222-28.jpg] G/[G, G]. Если в абелевой категории функтор Hom обладает производным функтором Ext и определен функтор [img: http://localhost:8080/file/021222-29.jpg] с его производным функтором Тог, то приведенная схема определяет теории гомологий и когомологий в этой категории. Весьма общий подход к построению теории когомологий может быть развит с использованием котроек [11]. Понятие (ко)тройки возникло при анализе минимальных средств, необходимых для построения симплициальных резольвент. Тройкой T=(T, k, p) над категорией U наз. совокупность функтора [img: http://localhost:8080/file/021222-30.jpg] и двух естественных преобразований функторов [img: http://localhost:8080/file/021222-31.jpg] подчиненных условиям [img: http://localhost:8080/file/021222-32.jpg] Понятие котройки двойственно, т. е. получается из приведенного обращением стрелок. Если объект [img: http://localhost:8080/file/021222-33.jpg] и морфизм [img: http://localhost:8080/file/021222-34.jpg] удовлетворяют условиям [img: http://localhost:8080/file/021222-35.jpg] то пару (X, q)наз. T-алгеброй. Пусть UT - категория T-алгебр. Если [img: http://localhost:8080/file/021222-36.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021222-37.jpg] Тем самым определен функтор [img: http://localhost:8080/file/021222-38.jpg] (в нек-ром смысле F(X) - объект, свободный над X). Пусть [img: http://localhost:8080/file/021222-39.jpg] - функтор, забывающий T -структуру. Тогда функторы Fи Uсопряжены, UF=T,a G=FU:: [img: http://localhost:8080/file/021222-40.jpg] с [img: http://localhost:8080/file/021222-41.jpg] определяют котройку (G, l, q)и комплекс [img: http://localhost:8080/file/021222-42.jpg] с дифференцированием [img: http://localhost:8080/file/021222-43.jpg] (этот комплекс является аналогом свободной резольвенты объекта X). Если категория [img: http://localhost:8080/file/021222-44.jpg] абелева и полученный комплекс ацикличен, то стандартное применение функтора Hom (соответственно [img: http://localhost:8080/file/021222-45.jpg]) приводит к построению групп когомологий (соответственно гомологии) объекта X. В общем случае над T-алгеброй (X, q)надо построить новую абелеву категорию (X, q)-модулей, на к-рой имеется естественная структура котройки, позволяющая уже построить группы, называющиеся группами когомологий первоначальной категории (аналогично построению групп когомологий для категорий групп, ассоциативных алгебр и алгебр Ли). В эту схему включаются как когомологий групп, ассоциативных алгебр, алгебр Ли, так и ряд других теорий когомологий (когомологий коммутативных алгебр Харрисона, когомологий Андре - Квиллена, когомологий Амицура и др., см. [8]). Все приведенные конструкции относились так или иначе к абелевым категориям. В то же время ряд разделов математики (напр., теория расширений групп) приводит к необходимости построения теории когомологий с коэффициентами в неабелевой категории (напр., в неабелевом G-модуле Ав случае группы G)(см. [8], [11]). Отправной точкой для построения различных теорий неабелевых когомологий алгебр служат интерпретации когомологий в размерностях 0 и 1, но при этом приходится отказываться от нек-рых привычных аспектов классической теории (структуры группы на когомологиях и др.). Рассматривались когомологий топологических алгебраических структур (напр., когомологий топологич. групп [5], банаховых алгебр и др.).