Когомотопическая группа

- одно из обобщений одномерной группы когомологпй, понятие, в нек-ром смысле дуальное понятию гомотопической группы. Пусть pn (Х)=[ Х, Sn] - множество гомотопич. классов непрерывных отображений пунктрированного топологич. пространства Xв пунктированную сферу. Множество p п (Х)не всегда имеет естественную структуру группы (это так лишь при n=1, 3, 7, поскольку тогда Sn является H-пространством). Группа p1 (Х)совпадает с Н 1(Х, Z). Если X- клеточное разбиение размерности, не превосходящей 2n-2, то на множестве pn (Х)следующим образом] задается структура группы. Для [a], [b] [img: http://localhost:8080/file/021223-194.jpg] pn (Х)рассматривается отображение [img: http://localhost:8080/file/021223-195.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/021223-196.jpg] - диагональное отображение, а, [img: http://localhost:8080/file/021223-197.jpg] - представители классов [a], [b]. Ввиду ограничения на размерность Xсуществует единственный гомотопич. класс отображений [img: http://localhost:8080/file/021223-198.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/021223-199.jpg] - букет пунктированных сфер), композиция к-рого с естественным включением Sn [img: http://localhost:8080/file/021223-200.jpg] Sn [img: http://localhost:8080/file/021223-201.jpg] Sn [img: http://localhost:8080/file/021223-202.jpg] S п совпадает с гомотопич. классом отображения [img: http://localhost:8080/file/021223-203.jpg] Гомотопич. класс [img: http://localhost:8080/file/021223-204.jpg] отображения [img: http://localhost:8080/file/021223-205.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021223-206.jpg] - складывающее отображение, полагается равным [img: http://localhost:8080/file/021223-207.jpg] Относительно описанной операции множество л" (Х)представляет собой абелёву группу, поэтому часто функтор p п рассматривается лак функтор, определенный лишь на категории клеточных разбиений размерности, не превосходящей 2n-2, со значениями в категории абелевых групп. Для клеточных разбиений Xразмерности, меньшей п,p п (Х) = 0. Таким образом, функтор p п представляет интерес в размерностях от пдо 2n-2, т. е. в так наз. стабильных размерностях. Если [img: http://localhost:8080/file/021223-208.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021223-209.jpg] где SX- надстройка над X. Этот изоморфизм задается функтором надстройки: [img: http://localhost:8080/file/021223-210.jpg] = [SX, Sn+1]. Если X- произвольное конечномерное клеточное разбиение, то при достаточно большом Nмножество p п+N(SNX). имеет структуру группы (при [img: http://localhost:8080/file/021223-211.jpg] - -2n+2 выполнено соотношение dim (SNX)=N+dim x [img: http://localhost:8080/file/021223-212.jpg] 2(n+N)-2. Группа [img: http://localhost:8080/file/021223-213.jpg] = p п+N(SNX). при N [img: http://localhost:8080/file/021223-214.jpg] dim X-2n+2 наз. стабильной когомотопической группой клеточного разбиения, она определена для любого конечномерного клеточного разбиения. Группы [img: http://localhost:8080/file/021223-215.jpg] определены при всех целых n (а не только при положительных). Если в качестве Xвзять две точки (одна из к-рых отмечена), то [img: http://localhost:8080/file/021223-216.jpg] при n>0, [img: http://localhost:8080/file/021223-217.jpg] a [img: http://localhost:8080/file/021223-218.jpg] - стабильные гомотопич. группы сфер при n<0. Если (X, А)- пара клеточных разбиений размерности т, то при [img: http://localhost:8080/file/021223-219.jpg] определена относительная когомотопическая группа p п(Х, А)=p п(Х/А). Имеет место точная последовательность абелевых групп [img: http://localhost:8080/file/021223-220.jpg] продолжающаяся вправо неограниченно, однако, начиная с нек-рого места, все группы будут нулевыми: pi(Х, А) =pi (Х) =pi (А) = 0 при i>m. Влево эта последовательность продолжается лишь до тех значений i, при к-рых [img: http://localhost:8080/file/021223-221.jpg] В этой последовательности гомоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/021223-222.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021223-223.jpg] индуцированы естественными отображениями [img: http://localhost:8080/file/021223-224.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021223-225.jpg] Гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/021223-226.jpg] устроен следующим образом. Для класса [img: http://localhost:8080/file/021223-227.jpg] и для его представителя [img: http://localhost:8080/file/021223-228.jpg] выбирается продолжение [img: http://localhost:8080/file/021223-229.jpg] отображения f, заданного на подпространстве [img: http://localhost:8080/file/021223-230.jpg] со значениями в [img: http://localhost:8080/file/021223-231.jpg] Отображение Fиндуцирует отображение [img: http://localhost:8080/file/021223-232.jpg] гомотопич. класс к-рого (элемент группы pi+1(Х, А))ставится в соответствие с классом [img: http://localhost:8080/file/021223-233.jpg] Если (X, А)- пара пунктированных клеточных разбиений конечной размерности, то для стабильных К. г. имеет место точная последовательность [img: http://localhost:8080/file/021223-234.jpg] продолжающаяся неограниченно в обе стороны. Это обстоятельство позволяет превратить стабильные К. г. в обобщенную теорию когомологий. Для произвольного (непунктированного) конечномерного клеточного разбиения Xпусть [img: http://localhost:8080/file/021223-235.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021223-236.jpg] - пунктированное клеточное разбиение, полученное из Xнесвязным присоединением отмеченной точки. Функтор [img: http://localhost:8080/file/021223-237.jpg] определенный на категории конечномерных клеточных разбиений, задает обобщенную теорию когомологий, если положить [img: http://localhost:8080/file/021223-238.jpg] Значение на точке этой теории совпадает со стабильными гомотопич. группами сфер. К. г., так же как и гомотопические, не могут быть явно вычислены даже в самых простых случаях, и это сильно ограничивает возможность практич. применения описанных выше функторов.