Коевклидово пространство

- пространство, получаемое из евклидова применением принципа двойственности проективного пространства такой же размерности. Обозначается R*n, где п-размерность пространства. К. п. R*n является пространством с проективной метрикой, к-рая задается в соответствии с общей схемой введения проективных метрик. Если проективная метрика евклидова пространства Rn определяется абсолютом, состоящим из совокупности (п-1)-плоскости и (п-2)-мнимой квадрики в этой плоскости, то проективная метрика К. п. Rn определяется двойственным абсолютом: мнимым конусом 2-го порядка, к-рый наз. абсолютным конусом, с вершиной в качестве абсолютной точки абсолюта. Расстояние между точками в пространстве Rn определяется в соответствии с общей схемой определения расстояния между точками в пространствах с проективной метрикой с учетом двойственного характера этого пространства по отношению к Rn. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021225-46.jpg] - нормальные уравнения нек-рых плоскостей в евклидовом пространстве Rn, двойственном для Rn, где [img: http://localhost:8080/file/021225-47.jpg] - скалярное произведение векторов в Rn. В пространстве R*n этим плоскостям ставятся в соответствие точки Х(х 0, x)и Y(y0, у)с координатами [img: http://localhost:8080/file/021225-48.jpg] координаты этих точек нормированы условиями [img: http://localhost:8080/file/021225-49.jpg] (х 0 и у 0- координаты точек Xи У в бесконечно удаленной плоскости). Расстояние d между точками Xи У определяется соотношением [img: http://localhost:8080/file/021225-50.jpg] т. е. выражается через величину угла между плоскостями, двойственными точкам Xи Y. В соответствии с нормировкой векторов точек Xи Y это соотношение можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/021225-51.jpg] Действительное число р наз. радиусом кривизны К. п. В случае, когда точкам [img: http://localhost:8080/file/021225-52.jpg] в двойственном пространстве Rn соответствуют параллельные плоскости, то d=0, а расстояние между точками Xи Y определяются как евклидово расстояние между этими параллельными плоскостями. Углы между двумя плоскостями определяются в R*n как нормированное евклидово расстояние между соответствующими по принципу двойственности двумя точками в R,,. Этот угол равен также нормированному расстоянию между точками данных плоскостей в R*n, являющихся полюсами (п-2)-плоскости их пересечения относительно квадрик, высекаемых абсолютным конусом на этих плоскостях. При этом всегда определяется тот из углов между плоскостями, к-рый не содержит абсолютной точки. В частности, между двумя прямыми на коевклидовой плоскости [img: http://localhost:8080/file/021225-53.jpg] он равен нормированному расстоянию между такими двумя точками этих прямых, к-рые вместе с точкой пересечения данных прямых гармонически делят точки пересечения прямых с абсолютными прямыми. Движения К. п. [img: http://localhost:8080/file/021225-54.jpg] определяются как преобразования этого пространства, индуцируемые движениями соответствующего двойственного пространства Rm тем самый движения К. п. [img: http://localhost:8080/file/021225-55.jpg] описываются ортогональными операторами. Геометрия коевклидовой плоскости [img: http://localhost:8080/file/021225-56.jpg] обладает свойствами, двойственными свойствам плоскости R2. Так, из инвариантности длин сторон в треугольнике ABC относительно движений плоскости R2 следует, что угловой избыток [img: http://localhost:8080/file/021225-57.jpg] инвариантен при движениях плоскости [img: http://localhost:8080/file/021225-58.jpg] и всегда положителен. (Здесь и далее предполагается, что внутренний угол Втреугольника ABC в [img: http://localhost:8080/file/021225-59.jpg] содержит абсолютную точку.) За площадь Sтреугольника на плоскости [img: http://localhost:8080/file/021225-60.jpg] берется величина, пропорциональная угловому избытку, к-рый является аддитивной функцией треугольника: S=r2D. Вследствие двойственного характера величин углов и длин сторон треугольника на плоскости [img: http://localhost:8080/file/021225-61.jpg] имеют место следующие тригонометрич. соотношения в треугольнике ABC: b=а+с, [img: http://localhost:8080/file/021225-62.jpg] На плоскости [img: http://localhost:8080/file/021225-63.jpg] метрика расстояний (на прямых) является проективной эллиптической, метрика углов - параболической. В пространстве [img: http://localhost:8080/file/021225-64.jpg] проективная метрика расстояний (на прямых) - эллиптическая, в плоскостях - также эллиптическая, а в пучках плоскостей - параболическая. К. п. [img: http://localhost:8080/file/021225-65.jpg] является предельным случаем как эллиптического пространства, так и Лобачевского пространства: проективная метрика К. п. Rn может быть получена предельными переходами из проективных метрик указанных пространств.