Коллокации метод

- проекционный метод решения интегральных и дифференциальных уравнений, в к-ром приближенное решение определяется из условия удовлетворения уравнению в нек-рых заданных точках. Напр., для приближенного решения интегрального уравнения [img: http://localhost:8080/file/021226-20.jpg] выбираются нек-рое n-параметрич. семейство функций j(t, c1,..., с n) и нек-рые точки (узлы коллокации) t1,..., tn на отрезке [ а, b]. Приближенное решение и n(t) =j(t, с 1,..., с п)определяется из условий [img: http://localhost:8080/file/021226-21.jpg] представляющих собой систему пуравнений относительно неизвестных с 1,..., с п. Если данное уравнение линейно, а приближенное решение ищется в виде линейной комбинации и n(t) = c1j1(t)+... +cnjn(t)заданных (так наз. координатных) функций j1,..., jn, то и система уравнений относительно с 1,..., с п получается линейная. Сходимость К. м. для линейных краевых задач. Пусть поставлена краевая задача [img: http://localhost:8080/file/021226-22.jpg] Приближенное решение задачи разыскивается в виде [img: http://localhost:8080/file/021226-23.jpg] где jj(t)- некоторый многочлен степени m+j-1, удовлетворяющий краевым условиям (2). Коэффициенты c1,..., с п определяются из линейной системы [img: http://localhost:8080/file/021226-24.jpg] с чебышевскими узлами [img: http://localhost:8080/file/021226-25.jpg] i = 1,...,n. Справедлива следующая теорема [1]. Пусть функции f и aj, j=1,..., т, непрерывны на [ -1, 1] и пусть краевая задача (1), (2) имеет единственное решение u(t). Тогда существует n0 такое, что при система (3) однозначно разрешима, и [img: http://localhost:8080/file/021226-26.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021226-27.jpg] где c=const, [img: http://localhost:8080/file/021226-28.jpg] Аналогичный результат верен (см. [1]), если узлы - корни ортогональных по какому-либо весу многочленов. При равноотстоящих узлах рассматриваемый метод расходится. Развиваются также эффективные вычислительные схемы К. м. с координатными сплайн-функциями (см. [2], [3]).