Конечномерная ассоциативная алгебра

- ассоциативное кольцо А, являющееся одновременно конечномерным векторным пространством над полем F, в к-ром выполняется следующее условие [img: http://localhost:8080/file/021233-19.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/021233-20.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021233-21.jpg] Размерность [img: http://localhost:8080/file/021233-22.jpg] пространства Анад полем Fназ. размерностью алгебры Анад F. Принято также говорить, что алгебра Аявляется n-мерной. Всякая n-мерная ассоциативная алгебра Анад полем Fимеет точное представление матрицами порядка n+1 над F, т. е. существует изоморфизм алгебры Ана нек-рую подалгебру алгебры всех квадратных матриц порядка [img: http://localhost:8080/file/021233-23.jpg] над F. Если, кроме того, алгебра Асодержит единицу, то она имеет точное представление матрицами порядка пнад F. Пусть е г,..., е п- некоторый базис векторного пространства Анад F(он наз. также базисом алгебры А)и [img: http://localhost:8080/file/021233-24.jpg] Элементы [img: http://localhost:8080/file/021233-25.jpg] поля Fназ. структурными константами алгебры Ав данном базисе. Они образуют тензор третьего ранга в пространстве А. Основные теоремы о К. а. а. Радикал: Джекобсона К. а. а. нильпотентен и, если основное поле сепарабельно, отщепляется полупрямым слагаемым (см. Веддерберна- Мальцева теорема). Полупростая К. а. а. над полем разлагается в прямую сумму магричных алгебр над телами. Если основное поле Fалгебраически замкнуто, то полупростая К. а. а. распадается в прямую сумму матричных алгебр над F. Простые конечномерные алгебры исчерпываются полными матричными алгебрами над телами (теорема Веддерберна). В частности, К. а. а. без делителей нуля оказывается телом. Над полем действительных чисел К. а. а. с делением (т. е. тела) исчерпываются следующими примерами: поле действительных чисел, поле комплексных чисел, тело кватернионов (теорема Фробениуса). Многие из упомянутых структурных свойств К. а. а. имеют место и в более широких классах нётеровых и артиновых колец (см., напр., Веддерберна- Артина. теорема).