Конечных разностей исчисление

- раздел математики, в к-ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h - постоянная, к- целое). Тогда [img: http://localhost:8080/file/021233-63.jpg] - (конечные) разности первого порядка, [img: http://localhost:8080/file/021233-64.jpg] - разности второго порядка,..., [img: http://localhost:8080/file/021233-65.jpg] - разности n-го порядка. Разности удобно располагать в таблицу: [img: http://localhost:8080/file/021233-66.jpg] Разность n-го порядка через величины у 0, у1,... выражается формулой: [img: http://localhost:8080/file/021233-67.jpg] Наряду с разностями вперед Dyk употребляются разности назад: [img: http://localhost:8080/file/021233-68.jpg] В ряде вопросов (в частности, при построении интерполяционных формул) используют центральные разности: [img: http://localhost:8080/file/021233-69.jpg] к-рые определяются следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/021233-70.jpg] Между центральными dnyl. и обычными разностями Dnyk имеется связь [img: http://localhost:8080/file/021233-71.jpg] В случае, когда промежутки х k+1- х k не постоянны, рассматривают так наз. разделенные разности: [img: http://localhost:8080/file/021233-72.jpg] Имеет место формула [img: http://localhost:8080/file/021233-73.jpg] Иногда вместо [ х 0; х 1;...; х п] употребляется обозначение f(x0; х 1;...; х п). Если xn=x0+nh, n=0, 1, 2,..., то [img: http://localhost:8080/file/021233-74.jpg] Если функция f(x)в интервале xk<х<xk+n имеет n-ю производную fn (х), то [img: http://localhost:8080/file/021233-75.jpg] К. р. и. тесно связано с общей теорией приближения функций, используется в приближенном дифференцировании и интегрировании, в приближенном решении дифференциальных уравнений и других вопросах. Пусть поставлена задача (интерполяционная задача) о восстановлении функции f(x), если известны значения f(x)в точках х 0, х 1,..., х п. Строится многочлен Р(х)степени п, к-рый в указанных точках принимает те же значения, что и f(x). Его можно записать в различных формах - в форме Лагранжа, в форме Ньютона и т. д. В форме Ньютона интерполяционный многочлен имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/021233-76.jpg] а в случае равноотстоящих значений независимого переменного: [img: http://localhost:8080/file/021233-77.jpg] Функцию f(х)принимают приближенно равной Р п{х). Если f(x)имеет n+1 производную, то ошибка от замены f(x)на Р п (х)оценивается соотношением [img: http://localhost:8080/file/021233-78.jpg] где x, лежит в интервале, в к-ром находятся точки х, х 0,..., хД. В случае, если f(x)- многочлен степени [img: http://localhost:8080/file/021233-79.jpg] то f(x) = Pn(x). При неограниченном увеличении числа узлов интерполяции многочлен Р п (х)становится в пределе многочленом Р(х)"бесконечной" степени и естественно возникает вопрос: когда f(x)-P(x), т. е. когда будет выполняться равенство [img: http://localhost:8080/file/021233-80.jpg] (для простоты рассматривается случай равноотстоящих узлов). Пусть х 0=0, h=i, так что xn=n(n>0). Если ряд (1) сходится в точке а, отличной от узлов (ряд (1) всегда сходится в узлах х 0, x1...), то он сходится в полуплоскости Re x>a и представляет собой в этой полуплоскости аналитич. функцию, к-рая в полуплоскости [img: http://localhost:8080/file/021233-81.jpg] удовлетворяет условию (e>0): [img: http://localhost:8080/file/021233-82.jpg] Обратно, если f(x)аналитична в нек-рой полуплоскости и имеет оценку роста, подобную указанной (несколько лучше ее), то она представляется рядом (1). Таким образом, в ряд (1) (так наз. ряд Ньютона) разлагаются функции из весьма узкого класса (только аналитич. функции с определенным ростом). Изучаются ряды Ньютона, когда узлы - вообще комплексные числа. Такие ряды нашли большое применение в теории трансцендентных чисел. Пусть теперь узлы интерполяции образуют треугольную матрицу [img: http://localhost:8080/file/021233-83.jpg] и интерполяционный многочлен Р п (х)строится по узлам, расположенным в (n+1)-й строчке. Класе функций, для к-рых Р п (х)стремится к f(x)при [img: http://localhost:8080/file/021233-84.jpg] зависит от матрицы узлов. Напр., в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/021233-85.jpg] (x п, k- корни Чебышева многочлена), для сходимости интерполяционного процесса на отрезке [ -1,1] достаточно выполнения условия [img: http://localhost:8080/file/021233-86.jpg] где w(d) - непрерывности модуль f (х)на [ -1,1]. Другая важная задача К. р. и - задача суммирования функций. Пусть дана нек-рая функция f(x). Требуется найти в конечном виде, точно или приближенно, сумму [img: http://localhost:8080/file/021233-87.jpg] при фиксированных х 0 и hи большом п, если известны нек-рые аналитич. свойства f(x). Иначе говоря, исследуется асимптотич. поведение Sn при [img: http://localhost:8080/file/021233-88.jpg] Пусть х 0=0, h=i (для простоты) и найдена функция F(x)такая, что [img: http://localhost:8080/file/021233-89.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/021233-90.jpg] Напр., пусть f(x)=x2. Решение уравнения (2) ищется в виде многочлена третьей степени [img: http://localhost:8080/file/021233-91.jpg] с неопределенными коэффициентами. При подстановке в уравнение (2) и приравнивании коэффициентов левой и правой частей при соответствующих степенях многочлен имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/021233-92.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021233-93.jpg] Не всегда удается в конечном виде получить решение уравнения (2). Поэтому полезно иметь приближенные формулы для S п. Такой формулой является Эйлера- Маклорена формула суммирования. В случае, если f(x)имеет кпроизводных и к- четное, формулу Эйлера - Маклорена можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/021233-94.jpg] где 0<q<1 (q вообще зависит от п), Bv- Бернулли числа. Если f(x)- многочлен степени, меньшей к, то остаточный член равен нулю. Имеется аналогия между задачами К. р. и. и дифференциальным и интегральным исчислениями. Операций разыскания разности соответствует нахождению производной; решение уравнения (2) как операция, обратная разысканию конечной разности, соответствует нахождению первообразной, т. е. неопределенному интегрированию. Формула (3) есть прямой аналог Ньютона- Лейбница формулы. Эта аналогия проявляется при рассмотрении уравнений в конечных разностях. Уравнением в конечных разностях наз. соотношение [img: http://localhost:8080/file/021233-95.jpg] где F- заданная функция, a f(x)- искомая. Если выразить все Dnf(х) через f(x), f(z+1),..., f(x+n), то уравнение в конечных разностях запишется в виде [img: http://localhost:8080/file/021233-96.jpg] Его решение относительно f(x+n): [img: http://localhost:8080/file/021233-97.jpg] При задании начальных значений f(x0), f(x0+1),..., f(x0+n-1) можно последовательно найти f(x0+n), f(х 0+п+1) и т. д. После решения уравнения (4) относительно f(x): [img: http://localhost:8080/file/021233-98.jpg] можно, положив х=х 0-1, найти f(x0-1), затем найти f(x0-2) и т. д. Таким образом, из уравнения через начальные данные могут быть найдены значения f(x)во всех точках х 0+k, где k- целое. Пусть рассматривается линейное уравнение [img: http://localhost:8080/file/021233-99.jpg] где Р 1 (х),..., Pk(x)и Q(x)- заданные функции на множестве х=0,1, 2.... Общее решение неоднородного уравнения (6) есть сумма частного решения неодно- родного уравнения и общего решения однородного уравнения [img: http://localhost:8080/file/021233-100.jpg] Если f1(x),..., fk(x)- линейно независимые решения уравнения (7), то общее решение уравнения (7) выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/021233-101.jpg] где c1,..., с k; - произвольные постоянные. Постоянные c1,..., ck можно найти, задав начальные условия, значения f(0), f(1),..., f(k-1). Линейно независимые решения f1(x),..., fk(x)(фундаментальная система) легко находятся в случае уравнения с постоянными коэффициентам [img: http://localhost:8080/file/021233-102.jpg] Решение уравнения (8) ищется в виде f(x)=lx. Характеристическое уравнение для X: [img: http://localhost:8080/file/021233-103.jpg] Пусть l1,..., lk - его корни и все они различны. Тогда фундаментальная система решений уравнения (8) есть система [img: http://localhost:8080/file/021233-104.jpg] и общее решение уравнения (8) представляется формулой: [img: http://localhost:8080/file/021233-105.jpg] Если l1 есть s-кратный корень характеристич. уравнения, то ему соответствуют частные решения [img: http://localhost:8080/file/021233-106.jpg] xs-1lx1 Пусть, напр., рассматривается последовательность чисел, начинающаяся с нуля и единицы, в к-рой каждый последующий член равен сумме двух непосредственно предшествующих ему: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 15,... (Фибоначчи числа). Ищется выражение для общего члена последовательности. Пусть j(x), х=0,1, 2, 3,...,- общий член последовательности; условие [img: http://localhost:8080/file/021233-107.jpg] является разностным уравнением с заданными начальными условиями. Характеристическое уравнение имеет вид: l2-X-1=0, его корни [img: http://localhost:8080/file/021233-108.jpg] поэтому [img: http://localhost:8080/file/021233-109.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021233-110.jpg] и с 2= [img: http://localhost:8080/file/021233-111.jpg] находятся из начальных условий. продолжение КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ.... Уравнение (4) можно изучать не только тогда, когда хизменяется дискретно, принимая значения 0, 1, 2,..., но и тогда, когда хизменяется непрерывно. Пусть f(x)задана произвольно в полуинтервале [0, п). Из (5), положив х=0, получают f(n). Если f(x)задана непрерывной в [0, п), то в замкнутом интервале [0, п]функция f(х)может оказаться разрывной. Желая иметь дело с непрерывными решениями, надо f(x)так задать в [0, п), чтобы, в силу (5), f(x)оказалась непрерывной в [0, п]. Зная f(x)в [0, п], из (5) находят f(x)для х [img: http://localhost:8080/file/021234-23.jpg] (п, n+1], затем для х [img: http://localhost:8080/file/021234-24.jpg] (n+1, n+2] и т. д. Более общим, чем уравнение (8), является уравнение [img: http://localhost:8080/file/021234-25.jpg] Здесь h1,..., hk - необязательно целые и необязательно соизмеримы между собой. Уравнение (9) имеет частные решения [img: http://localhost:8080/file/021234-26.jpg] i где l- корень уравнения [img: http://localhost:8080/file/021234-27.jpg] Это уравнение имеет бесконечно много корней l1, l2,.... Следовательно, уравнение (9) имеет бесконечно много частных решений [img: http://localhost:8080/file/021234-28.jpg] m=1, 2,.... Пусть все корни простые. Для выражения решения уравнения (9) через эти элементарные частные решения уравнение удобнее записать в виде: [img: http://localhost:8080/file/021234-29.jpg] где s(t)- кусочно постоянная функция, имеющая скачки в точках 0, h1,..., hk, равные соответственно 1, a1,..., ak. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021234-30.jpg] Функции yv(t) обладают свойством: [img: http://localhost:8080/file/021234-31.jpg] (dmv=l, если m=v, и dmv=0, если т неравно v), т. е. они образуют систему, биортогональную к системе {еlnt}. На этом основании решению f{x)уравнения (10) приводится в соответствие ряд [img: http://localhost:8080/file/021234-32.jpg] В случае, когда уравнение (9) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/021234-33.jpg] (т. е. f(x)- периодическая функция с периодом 2p); L(l) = е 2pl-1; корни уравнения L(l)=0 суть mi;(т=0, [img: http://localhost:8080/file/021234-34.jpg] 1,...) и ряд (11) есть ряд Фурье для функции f(x), записанный в комплексной форме. Ряд (11) можно рассматривать как обобщение на случай разностного уравнения (9) обычного ряда Фурье, соответствующего простейшему разностному уравнению (12). При определенных условиях ряд (11) сходится к решению f(x). Если f(x)- аналитическая функция, то уравнение (9) представимо в виде бесконечного порядка уравнения [img: http://localhost:8080/file/021234-35.jpg] Аналогично разностям функций одного переменного вводятся разности функций многих переменных. Так, напр., пусть требуется решить задачу численного решения уравнения Лапласа [img: http://localhost:8080/file/021234-36.jpg] в прямоугольнике [img: http://localhost:8080/file/021234-37.jpg] при заданных значениях и(х, у)на границе прямоугольника. Прямоугольник разбивается на мелкие прямоугольные ячейки со сторонами Dx=a/N, Dy=b/M. В вершинах этих ячеек ищутся значения решения. В вершинах, к-рые лежат на границе исходного прямоугольника, значения и(х, у)известны. Принимая приближенно (в числителях стоят разности второго порядка) [img: http://localhost:8080/file/021234-38.jpg] вместо уравнения Лапласа получают систему уравнений [img: http://localhost:8080/file/021234-39.jpg] Точка (х, у)пробегает те вершины ячеек, к-рые расположены внутри основного прямоугольника. Тем самым строится система (N-1)(М-1) уравнений, содержащая то же число неизвестных. Решая эту алгебраич. систему уравнений, получают значения и(х, у)в вершинах ячеек. Когда D х и D у малы, а решение задачи имеет определенную гладкость, найденные значения близки к точным значениям. К. р. и. развивалось параллельно с развитием основных разделов математич. анализа. Начала К. р. п. содержатся в трудах П. Ферма (P. Fermat), И. Барроу (I. Barrow), Г. Лейбница (G. Leibniz). В 18 в. К. р. и. приобрело характер самостоятельной математич. дисциплины. Первое систематич. изложение К. р. и. было дано Б. Тейлором (В. Taylor) в 1715. Труды математиков 19 в. подготовили почву для современных глав К. р. п. Идеи и методы К. р. и. получили, существенное развитие в применении аналитич. функциям комплексного переменного и задачам вычислительной математики.