Конструктивное по гёделю множество

- множество, возникающее в описанном ниже процессе построения множеств. Пусть X- множество и [img: http://localhost:8080/file/021236-39.jpg] X. Рассмотрим язык 1-й ступени L(R, X), содержащий один 2-местный предикатный символ, обозначающий отношение R, и индивидные константы, обозначающие элементы множества X(для каждого [img: http://localhost:8080/file/021236-40.jpg] своя константа [img: http://localhost:8080/file/021236-41.jpg] Суждение "формула j языка L(R, X)истинна в модели М=(Х, R)"записывается следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/021236-42.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/021236-43.jpg] наз. определимым в модели М=(Х, R)(иначе М-о пределимым), если существует формула j(v)языка L(R, X)с одной свободной переменной vтакая, что [img: http://localhost:8080/file/021236-44.jpg] Пусть Def Mобозначает множество всех М-определи-мых множеств. Каждому ординальному числу a сопоставим множество La, определяемое рекурсивным соот-пошеннем: [img: http://localhost:8080/file/021236-45.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021236-46.jpg] есть отношение принадлежности, ограниченное множеством Lb. Отсюда следует: [img: http://localhost:8080/file/021236-47.jpg] Множество г наз. конструктивным, если существует ординал aтакой, что zОLa. Класс всех конструктивных множеств обозначается через L. К. Гёдель (К. Godel) ввел следующую аксиому конструктивности: всякое множество конструктивно. Он доказал, что в классе Lвыполняются все аксиомы системы ZF, а также аксиома конструктивности, и что аксиома выбора и обобщенная континуум-гипотеза ("для всякого ординала а имеет место [img: http://localhost:8080/file/021236-48.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021236-49.jpg] ") следуют в ZF из аксиомы конструктивности. Класс Lможно охарактеризовать также как наименьший класс, являющийся моделью ZF и содержащий все ординальные числа; имеются н другие определения класса L(см. [2] - [4]). Отношение [img: http://localhost:8080/file/021236-50.jpg] можно выразить формулой языка ZF и притом простой синтаксической структуры (так наз. [img: http://localhost:8080/file/021236-51.jpg] -формулой, см. [4]). Среди результатов, относящихся к К. м., упомянем следующие. Множество конструктивных действительных чисел, т. е. множество [img: http://localhost:8080/file/021236-52.jpg] где R- множество всех действительных чисел, т. е. последовательностей нулей и единиц, является А 2 -множеством (см. [5]). Было показано, что из аксиомы конструктивности вытекает существование неизмеримого по Лебегу множества действительных чисел типа А 2 (см. [6]), отрицание Суслина гипотеза и несуществование измеримого кардинала (см. [2]).