Контактные задачи теории упругости

- задачи распределения деформации и напряжения в системе твердых тел, имеющих общие участки границ (поверхности соприкосновения). В общей постановке результаты по контактной задаче (к. з.) ограничиваются теоремами существования и нек-рыми приближенными способами решения. Более полные результаты относятся к тому случаю, когда одно из контактирующих тел является упругой полуплоскостью (или полупространством), а другое - абсолютно жестким телом, вдавливаемым в полуплоскость (полупространство) заданными силами (задачи о штампах). Вне основания штампа, приходящего в соприкосновение с упругим телом, на границе последнего граничные условия могут задаваться, из числа допустимых, произвольно, а на участке под штампом граничные условия формулируются в зависимости от характера контакта. Так, если упругое тело жестко сцеплено с прижимаемым к нему твердым телом, под штампом могут считаться заданными перемещения; если же допускается скольжение упругого тела по контактной поверхности жесткого штампа, то под штампом известны нормальная составляющая перемещения и нек-рое линейное соотношение между нормальным и касательным напряжением, зависящее от коэффициента трения (закон Кулона). Могут реализоваться и другие граничные условия. Все случаи упругого полупространства (полуплоскости) приводят к смешанной задаче с различными граничными условиями на различных участках границы. Развитие методов решения этих задач, включая тот случаи, когда оба контактирующих тела являются упругими, составляет содержание работ, посвященных задачам о штампах. Эти методы близки друг другу и в плоской задаче, в конечном счете, сводятся к методу сопряжения кусочно голоморфных функций (метод задачи Римана - Гильберта), с помощью к-рого к. з. решаются в квадратурах. Задача о соприкосновении двух упругих тел в трехмерном случае была впервые поставлена и решена Г. Герцем (Н. Hertz), к-рый считал площадку соприкосновения весьма малой, а уравнения недеформированных поверхностей вблизи места соприкосновения - уравнениями поверхностей 2-го порядка. При этом оказалось возможным воспользоваться одной Электростали, аналогией, и функция, выражающая давление на участке контакта, была найдена в виде электростатич. потенциала нек-рого эллипсоида. В плоском случае задача Герца приводится к уравнению Фредгольма 1-го рода [img: http://localhost:8080/file/021237-67.jpg] где p(t)- искомое давление одного тела на другое в точке tучастка соприкосновения ab,a f(t).- заданная функция; эта же задача приводится к разрешимому в замкнутом виде сингулярному интегральному уравнению. В общей постановке к. з. формулируются следующим образом. Задача I. Пусть в бесконечном изотропном упругом теле с постоянными Ламе l0, m0 имеются тупругих изотропных изолированных включений с постоянными lk,mk, k=l,..., т, ограниченных гладкими поверхностями Sk произвольной конфигурации. Считая включения жестко сцепленными с основной средой вдоль контактных поверхностей Sk, требуется определить напряженное состояние тела под влиянием заданных объемных сил. Задача II. В конечном изотропном упругом теле с произвольной гладкой границей S0 и постоянными l0, m0 имеется тупругих изотропных изолированных включений, ограниченных поверхностями Sk, k=1,.... т, жестко сцепленных с несущей средой вдоль Sk. Требуется найти упругое состояние тела, возникающее под действием заданных объемных сил и заданных граничных условий на S0. Эти же задачи ставятся для анизотропных тел, а также при других допущениях относительно характера контактов вдоль Sk,k=l,..., т. Для указанных задач доказаны теоремы существования, в изотропном случае - методом сингулярных потенциалов и сингулярных интегральных уравнении, для анизотропных тел - методами функционального анализа. В изотропном случае найдены также способы приближенного решения в квадратурах. Пусть х, у- точки трехмерного пространства Е 3, Dk- область, ограниченная поверхностью [img: http://localhost:8080/file/021237-68.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021237-69.jpg] Г k(x-у)- матрица размера [img: http://localhost:8080/file/021237-70.jpg] фундаментальных решений для области Dk,k=1,..., т, Г 0 (х-у).- та же матрица для области D-, и(х)- вектор смещения в точке х, Т- оператор напряжения, Ти (х)- вектор напряжения, соответствующий смещению ив точке х, [img: http://localhost:8080/file/021237-71.jpg] p=1, 2, 3,- вектор напряжения, соответствующий смещению [img: http://localhost:8080/file/021237-72.jpg] в области Dk для [img: http://localhost:8080/file/021237-73.jpg] ТГ k (х-у)- матрица размера [img: http://localhost:8080/file/021237-74.jpg] составленная из [img: http://localhost:8080/file/021237-75.jpg] р=1, 2, 3, как из столбцов, (ТГ k(x-у))'- союзная матрица; М k(х, у)и М 0(х, у)- прямоугольные матрицы размера [img: http://localhost:8080/file/021237-76.jpg] определенные следующим образом [img: http://localhost:8080/file/021237-77.jpg] Задача I, без ограничения общности, есть задача об определении смещения из условий [img: http://localhost:8080/file/021237-78.jpg] Пусть значения пределов с обеих сторон контактных границ для и(х)и Ти (х)обозначены через и(у), Ти (у), [img: http://localhost:8080/file/021237-79.jpg] тогда для регулярного решения: [img: http://localhost:8080/file/021237-80.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021237-81.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/021237-82.jpg] и dk (х)=0 для [img: http://localhost:8080/file/021237-83.jpg] а d(x)=0 для x [img: http://localhost:8080/file/021237-84.jpg] Umi=1Di и d(x)=2 для [img: http://localhost:8080/file/021237-85.jpg] Формулы (1) могут быть записаны в виде: [img: http://localhost:8080/file/021237-86.jpg] где l(у)=(и(у), Ти (у))- шестимерный вектор. Первое из этих равенств верно для всех х, принадлежащих [img: http://localhost:8080/file/021237-87.jpg] а второе - для всех х, принадлежащих [img: http://localhost:8080/file/021237-88.jpg] Соответствующие произвольно заданные значения переменной хприводят к бесконечному множеству равенств [img: http://localhost:8080/file/021237-89.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/021237-90.jpg] - множество шестимерных векторов [img: http://localhost:8080/file/021237-91.jpg] соответственно пронумерованное, напр., по диагональному правилу. Это множество линейно независимо и полно в [img: http://localhost:8080/file/021237-92.jpg] В левых частях равенств (2) стоят скалярные произведения (l, jn). для любого значения индекса пв качестве составляющих заданных векторов и, следовательно, эти произведения также заданы. Вследствие полноты [img: http://localhost:8080/file/021237-93.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/021237-94.jpg] неизвестный вектор l=(и, Ти)может быть аппроксимирован линейной комбинацией [img: http://localhost:8080/file/021237-95.jpg] если постоянные [img: http://localhost:8080/file/021237-96.jpg] найдены из условия минимума нормы [img: http://localhost:8080/file/021237-97.jpg] Это приводит к системе линейных алгебраич. уравнений [img: http://localhost:8080/file/021237-98.jpg] к-рая разрешима. N-e- приближение lN (у)для вектора l(у)выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/021237-99.jpg] Подстановка первых трех составляющих lN (у), как вектора, вместо и(у), а вторых трех составляющих вместо Ти (у). под интегралами в (1), приводит к приближенному решению в квадратурах задачи I. Точное решение есть равномерный при [img: http://localhost:8080/file/021237-100.jpg] предел приближенного в произвольной внутренней точке области. Формулы для решения задачи II остаются теми же, с одним изменением: вместо матрицы Г 0 (х-у)используется тензор Грина для полной области, ограниченной поверхностью S0, соответствующей заданным на S0 граничным условиям.