Конформная связность

- дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии М, специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство Еимеет своим типовым слоем конформное пространство С п размерности n=dim M. Структурой такого пространства Ек каждой точке [img: http://localhost:8080/file/021239-39.jpg] присоединяется экземпляр конформного пространства (С п) х, к-рый отождествляется (с точностью до конформных преобразований, сохраняющих х и все направления в ней) с касательным пространством Т Х (М), дополненным одной бесконечно удаленной точкой. К. с, как связность в таком Е, предусматривает сопоставление каждой гладкой кривой [img: http://localhost:8080/file/021239-40.jpg] с началом х 0 и каждой ее точке xt конформное отображение [img: http://localhost:8080/file/021239-41.jpg] так, что удовлетворяется нек-рое условие (см. ниже условие на gt). Пусть пространство СД отнесено к реперу, к-рый состоит из двух точек (вершин) и из нпроходящих через них попарно ортогональных гиперсфер. Такой репер интерпретируется в псевдоевклидовом пространстве 1Rn+2 как класс эквивалентных базисов, удовлетворяющих условиям [img: http://localhost:8080/file/021239-42.jpg] относительно эквивалентности [img: http://localhost:8080/file/021239-43.jpg] Пусть Мпокрыто координатными областями и в каждой области фиксировано гладкое поле репера в (С п) х, у к-рого вершина, определяемая вектором е 0, совпадает с х. Условие на gt следующее: при [img: http://localhost:8080/file/021239-44.jpg] когда xt перемещается по [img: http://localhost:8080/file/021239-45.jpg] до х 0, gt должно стремиться к тождественному отображению, причем главная часть его отклонения от последнего должна определяться относительно поля репера в нек-рой окрестности точки х 0 матрицей вида [img: http://localhost:8080/file/021239-46.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021239-47.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/021239-48.jpg] линейных дифференциальных форм [img: http://localhost:8080/file/021239-49.jpg] типа [img: http://localhost:8080/file/021239-50.jpg] Другими словами, образ репера в точке xt при gt должен быть определен векторами [img: http://localhost:8080/file/021239-51.jpg] где X- касательный вектор к Lв точке х 0 и [img: http://localhost:8080/file/021239-52.jpg] При преобразовании репера поля в произвольной точке хсогласно формулам [img: http://localhost:8080/file/021239-53.jpg] сохраняющим условия (1), т. е. при переходе к произ- вольному элементу главного расслоенного пространства П реперов в пространствах (С п) х, формы (3) заменяются следующими 1-формами на П: [img: http://localhost:8080/file/021239-54.jpg] образующими также матрицу w' вида (2). 2-формы [img: http://localhost:8080/file/021239-55.jpg] образуют матрицу [img: http://localhost:8080/file/021239-56.jpg] такой же структуры, как (2), и выражаются по формулам [img: http://localhost:8080/file/021239-57.jpg] через формы [img: http://localhost:8080/file/021239-58.jpg] являющиеся в силу (3) линейными комбинациями от [img: http://localhost:8080/file/021239-59.jpg] а следовательно и от [img: http://localhost:8080/file/021239-60.jpg] Для элементов матрицы w' имеют место структурные уравнения К. с. (где для простоты опущены штрихи): [img: http://localhost:8080/file/021239-61.jpg] Здесь правые части полубазовы, т. е. являются линейными комбинациями только от [img: http://localhost:8080/file/021239-62.jpg] они составляют систему форм кручения-кривизны К. с. и преобразуются по законам [img: http://localhost:8080/file/021239-63.jpg] Равенства [img: http://localhost:8080/file/021239-64.jpg] имеют инвариантный смысл и выделяют К. с. нулевого кручения. Пусть [img: http://localhost:8080/file/021239-65.jpg] тогда при [img: http://localhost:8080/file/021239-66.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021239-67.jpg] и для [img: http://localhost:8080/file/021239-68.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021239-69.jpg] Инвариантные тождества [img: http://localhost:8080/file/021239-70.jpg] Cik=0 выделяет специальный класс так называемых (по Картану) нормальных К. с. Формы (3), образующие матрицу вида (2), определяют К. с. на Моднозначно: образ репера в точке х t при [img: http://localhost:8080/file/021239-71.jpg] определяется решением {еa(t)} системы [img: http://localhost:8080/file/021239-72.jpg] при начальных условиях и a(0)=еa, где xi = xi(t)-уравнения кривой [img: http://localhost:8080/file/021239-73.jpg] в нек-рой координатной окрестности ее точки х 0 с координатами х i(0). Любые 1-формы [img: http://localhost:8080/file/021239-74.jpg] на П, удовлетворяющие уравнениям (4) с правыми частями, выражающимися через [img: http://localhost:8080/file/021239-75.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021239-76.jpg] (i=l,..., п)- линейно независимы, определяют в указанном смысле нек-рую К. с. на М. К. с. дают удобный аппарат для исследования конформных отображений римановых пространств. К. с. сводится к Леви-Чивита связности нек-рого риманова пространства, если на Мсуществуют локальные поля реперов, относительно к-рых [img: http://localhost:8080/file/021239-77.jpg] Для тензора кривизны Rjikl этой связности, определяемого равенством [img: http://localhost:8080/file/021239-78.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/021239-79.jpg] Обратно, для каждой связности Леви-Чивита риманова пространства существует единственная нормальная К. с, из к-рой она получается указанным способом. При этом Qj=0 п Pij выражается через тензор Риччи Rik=Rjikl и скалярную кривизну [img: http://localhost:8080/file/021239-80.jpg] формулой [img: http://localhost:8080/file/021239-81.jpg] Соответствующий тензор Cjikl наз. тензором конформной кривизны связности Леви-Чивита. Два римановых пространства конформно эквивалентны, если их связности Леви-Чивита имеют совпадающие нормальные К. с. В частности, риманово пространство при n>3 конформно евклидово тогда и только тогда, когда для него c jikl=0.