Кооперативная игра

- нестратегическая игра (см. Игр теория), задаваемая тройкой (I, u, H), где I - множество (обычно конечное), элементы к-рого наз. игроками, а подмножества [img: http://localhost:8080/file/021241-80.jpg] - коалициям и, v- вещественная функция, определенная на множестве коалиций и называемая характеристической функцией игры, Н- некоторое подмножество векторов Х I (компоненты х i к-рых соответствуют игрокам iиз I), называемых дележам и. К. и. впервые были введены Дж. Нейманом (J. Neumann, 1929) как аппарат кооперативной теории (бескоалиционных) игр. В классической теории К. и. принимается: [img: http://localhost:8080/file/021241-81.jpg] На множестве Нвводится бинарное отношение [img: http://localhost:8080/file/021241-82.jpg] доминирования (предпочтения) дележей по коалиции [img: http://localhost:8080/file/021241-83.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021241-84.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/021241-85.jpg] для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/021241-86.jpg] то полагают [img: http://localhost:8080/file/021241-87.jpg] Относительно этого отношения доминирования формулируются понятия оптимальности дележей. Значительная часть содержания теории К. и. состоит в разработке понятий оптимальности, в доказательствах их реализуемости для различных частных классов К. и. и фактическом нахождении таких реализаций. К числу принципов оптимальности, разрабатываемых применительно к К. п., относятся: двойная (т. е. внешняя и внутренняя) устойчивость, реализуемая в форме решений по Нейману - Моргенштерну (Н-М-решения); недоминируемость дележей (см. Ядра в теории игр); устойчивость относительно угроз; устойчивость в смысле минимизации наибольшей неудовлетворенности (см. Устойчивость в теории игр), справедливость (см. Щепли вектор)и др. Введение на классе К. и. алгебраич. операций приводит к исчислениям К. и. и к исследованию взаимосвязей между этими операциями и различными принципами оптимальности. Специальному изучению подвергались различные частные классы К. и., описанные ниже. Простая игра - К. и., в к-рой характеристич. функция vпринимает ровно два значения (обычно 0 и 1); при этом коалиции К, на к-рых достигается максимальное значение v(K), наз. выигрывающими. Частным случаем простых игр является взвешенная мажоритарная игра, в к-рой коалиция Кявляется выигрывающей, если [img: http://localhost:8080/file/021241-88.jpg] > [img: http://localhost:8080/file/021241-89.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021241-90.jpg] - некоторые заданные числа. Сбалансированная игра - К. и., для характеристической функции которой [img: http://localhost:8080/file/021241-91.jpg] если семейство коалиций [img: http://localhost:8080/file/021241-92.jpg] и числа [img: http://localhost:8080/file/021241-93.jpg] таковы, что [img: http://localhost:8080/file/021241-94.jpg] где cK(i)= 1, если [img: http://localhost:8080/file/021241-95.jpg] и 0 в противном случае. Сбалансированные игры и только они имеют непустое с-ядро. Выпуклая игра - К. п., для характеристич. функции к-рой при К, [img: http://localhost:8080/file/021241-96.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021241-97.jpg] В выпуклой игре с-ядро непусто и совпадает с единственным Н - М-решением. Если К. п. строго выпуклая (т. Игра с квотой - К. и. с характеристич. функцией v, для к-рой существует такой вектор [img: http://localhost:8080/file/021241-98.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/021241-99.jpg] и для любых игроков [img: http://localhost:8080/file/021241-100.jpg] имеет место u({i, j})= wi+wj. Игра рынка - К. и., порожденная рынком, к-рый понимается как система [img: http://localhost:8080/file/021241-101.jpg] где I - множество участников рынка (с ттоварами), [img: http://localhost:8080/file/021241-102.jpg] - начальный набор товаров г-го участника, и i(х i)- функция полезности г-го участника, определенная на [img: http://localhost:8080/file/021241-103.jpg]. На основе этого рынка строится К. и., в к-рой [img: http://localhost:8080/file/021241-104.jpg] а характеристич. функция определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/021241-105.jpg] Теория классич. К. и. подвергалась обобщениям в различных направлениях (см. также Неатомическая игра). Игры без побочных платежей - нестратегич. игры, задаваемые тройкой (I, u, Н), где v(в отличие от классических К. и.) - функция, к-рая каждой коалиции Кставит в соответствие множество v(K)векторов Х I, удовлетворяющее условиям: 1) u(K)замкнуто и выпукло; 2) если xI Оu(K)и yi<xi(iОK), то [img: http://localhost:8080/file/021241-106.jpg] 3) если [img: http://localhost:8080/file/021241-107.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/021241-108.jpg] 4) [img: http://localhost:8080/file/021241-109.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/021241-110.jpg] 5) [img: http://localhost:8080/file/021241-111.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/021241-112.jpg] для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/021241-113.jpg] Доминирование в игре без побочных платежей определяется следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/021241-114.jpg] если существует такая непустая коалиция [img: http://localhost:8080/file/021241-115.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/021241-116.jpg] Игра в форме функции разбиения- нестратегическая игра, задаваемая множеством игроков I и функцией v, к-рая каждому разбиению [img: http://localhost:8080/file/021241-117.jpg] =(Р 1,..., Р п)множества I ставит в соответствие вектор [img: http://localhost:8080/file/021241-118.jpg]. Максимальный выигрыш, к-рый может гарантировать себе коалиция К, определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/021241-119.jpg] Дележ в игре в форме функции разбиения определяется как вектор х р удовлетворяющий условиям: [img: http://localhost:8080/file/021241-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021241-121.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/021241-122.jpg] для нек-рого. Дележ xI доминирует дележ у I по коалиции К, если: xi> у i([img: http://localhost:8080/file/021241-123.jpg]); [img: http://localhost:8080/file/021241-124.jpg] существует такое [img: http://localhost:8080/file/021241-125.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/021241-126.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/021241-127.jpg]