Корниша - фишера разложение

асимптотическое разложение разности между соответствующими квантилями нормального распределения и какого-либо близкого к нему распределения по степеням малого параметра; изучено Э. Корнишем и Р. Фишером [1]. Если F(x, t) - функция распределения, зависящая от параметра t, Ф (х) - функция нормального распределения с параметрами (0, 1), причем [img: http://localhost:8080/file/031201-90.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031201-91.jpg] то при определенных условиях на F(x, t) К.- Ф. р. функции [img: http://localhost:8080/file/031201-92.jpg] (F-1 - функция, обратная к F)имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031201-93.jpg] где Si(z) - некоторые многочлены от z. Аналогично определяется К.- Ф. р. функции [img: http://localhost:8080/file/031201-94.jpg] (Ф -1 - функция, обратная к Ф) по степеням х: [img: http://localhost:8080/file/031201-95.jpg] где Qi(x) - некоторые многочлены от х. Формула (2) получается при разложении функции Ф -1 в ряд Тейлора в точке Ф (х)и использовании Эджворта разложения. Разложение (1) является обращением формулы (2). Если X - случайная величина с функцией распределения F(x, t), то величина Z=Z (Х)=Ф -1[Р(Х, t)] имеет нормальное распределение с параметрами (0, 1) и, как следует из (2), функция распределения величины [img: http://localhost:8080/file/031202-1.jpg] лучше аппроксимируется при t-> 0 функцией Ф (х), чем функция F(x, t). Если Xимеет нулевое математич. ожидание и единичную дисперсию, то первые члены разложения (1) имеют следующий вид [img: http://localhost:8080/file/031202-2.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031202-3.jpg] cr есть r-й семиинвариант X, [img: http://localhost:8080/file/031202-4.jpg] Hr(z).- многочлены Эрмита, определяемые соотношением [img: http://localhost:8080/file/031202-5.jpg] О разложениях для величин с предельными законами из семейства распределений Пирсона см. [3]. См. также Случайных величин преобразование.