Коши критерий

- 1) К. к. сходимости числовой последовательности: для того чтобы последовательность чисел (действительных или комплексных) х n, n=1, 2,..., имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого [img: http://localhost:8080/file/031205-102.jpg] существовал такой номер N, что для всех [img: http://localhost:8080/file/031205-103.jpg] выполнялось неравенство [img: http://localhost:8080/file/031205-104.jpg] К. к. сходимости числовой последовательности обобщается в критерий сходимости точек полного метрич. пространства. Последовательность точек {х п} полного метрич. пространства сходится в том и только в том случае, когда для любого [img: http://localhost:8080/file/031205-105.jpg] существует такое N, что для всех [img: http://localhost:8080/file/031205-106.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031205-107.jpg] 2) К. к. существования предела функций n переменных [img: http://localhost:8080/file/031205-108.jpg] Пусть функция f определена на множестве Xre-мерного пространства Rn и принимает числовые (действительные или комплексные) значения, а - предельная точка множества X(или символ бесконечность, в этом случае множество Xнеограничено). Конечный предел [img: http://localhost:8080/file/031205-109.jpg] существует тогда и только тогда, когда для любого [img: http://localhost:8080/file/031205-110.jpg] найдется такая окрестность U=U(a). точки а, что для любых [img: http://localhost:8080/file/031205-111.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031205-112.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031205-113.jpg] Этот критерий обобщается на более общие отображения: пусть X - топологич. пространство, а - его предельная точка, в к-рой выполняется первая аксиома счетности, Y - полное метрич. пространство и f - отображение Xв Y. Для того чтобы существовал предел [img: http://localhost:8080/file/031205-114.jpg] необходимо и достаточно, чтобы для любого [img: http://localhost:8080/file/031205-115.jpg] существовала окрестность U=U(a).точки атакая, что для всех [img: http://localhost:8080/file/031205-116.jpg] выполнялось неравенство [img: http://localhost:8080/file/031205-117.jpg] 3) К. к. равномерной сходимости семейства функций. Пусть X - некоторое множество, Y - топологич. пространство, удовлетворяющее в предельной точке [img: http://localhost:8080/file/031205-118.jpg] первой аксиоме счетности, R- полное метрич. пространство, f(x, у).- отображение множества [img: http://localhost:8080/file/031205-119.jpg] Семейство отображений f(x, у), отображающих при фиксированном [img: http://localhost:8080/file/031205-120.jpg] множество Xв Я, является равномерно сходящимся на Xпри [img: http://localhost:8080/file/031205-121.jpg] если для любого [img: http://localhost:8080/file/031205-122.jpg] существует такая окрестность U=U(y0).точки y0, что для всех [img: http://localhost:8080/file/031205-123.jpg] и всех [img: http://localhost:8080/file/031205-124.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031205-125.jpg] В частности, если Y - множество натуральных чисел и [img: http://localhost:8080/file/031205-126.jpg] то последовательность [img: http://localhost:8080/file/031205-127.jpg] равномерно сходится на множестве Xпри [img: http://localhost:8080/file/031205-128.jpg] тогда и только тогда, когда для любого [img: http://localhost:8080/file/031205-129.jpg] существует такой номер N, что для всех [img: http://localhost:8080/file/031205-130.jpg] и всех номеров [img: http://localhost:8080/file/031205-131.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031205-132.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031205-133.jpg] 4)К. к. сходимости ряда: числовой ряд [img: http://localhost:8080/file/031205-134.jpg] сходится тогда и только тогда, когда для любого [img: http://localhost:8080/file/031205-135.jpg] существует такой номер N, что для всех [img: http://localhost:8080/file/031205-136.jpg] и всех целых [img: http://localhost:8080/file/031205-137.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031205-138.jpg] Для кратных рядов аналогичный критерий сходимости наз. критерием Коши- Штольца. Напр., для того чтобы двойной ряд [img: http://localhost:8080/file/031205-139.jpg] сходился по прямоугольным частичным суммам [img: http://localhost:8080/file/031205-140.jpg] необходимо и достаточно, чтобы для любого [img: http://localhost:8080/file/031205-141.jpg] нашлось такое N, что при всех [img: http://localhost:8080/file/031205-142.jpg] и всех целых [img: http://localhost:8080/file/031205-143.jpg] выполнялось неравенство [img: http://localhost:8080/file/031205-144.jpg] Эти критерии обобщаются на ряды в банаховых пространствах (вместо абсолютной величины берутся нормы соответствующих элементов). 5) К. к. равномерной сходимости ряда: пусть [img: http://localhost:8080/file/031205-145.jpg] - функции, определенные на нек-ром множестве Xи принимающие числовые значения. Для того чтобы ряд [img: http://localhost:8080/file/031205-146.jpg] равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого [img: http://localhost:8080/file/031205-147.jpg] существовал такой номер N, что для всех [img: http://localhost:8080/file/031205-148.jpg] целых [img: http://localhost:8080/file/031205-149.jpg] выполнялось неравенство [img: http://localhost:8080/file/031205-150.jpg] Этот критерий также переносится на кратные ряды, причем не только на числовые, но и на ряды, члены к-рых принадлежат банаховым пространствам, т. е. когда и п (х).являются отображениями множества Xв нек-рое банахово пространство. 6) К. к. сходимости несобственных интегралов: пусть функция f определена на полуинтервале [img: http://localhost:8080/file/031205-151.jpg] принимает на нем числовые значения и при любом [img: http://localhost:8080/file/031205-152.jpg] интегрируема (по Риману или по Лебегу) на отрезке [ а, с]. Для того чтобы несобственный интеграл [img: http://localhost:8080/file/031205-153.jpg] сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого [img: http://localhost:8080/file/031205-154.jpg] существовало такое [img: http://localhost:8080/file/031205-155.jpg] что для всех [img: http://localhost:8080/file/031205-156.jpg] удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/031205-157.jpg] выполнялось неравенство [img: http://localhost:8080/file/031205-158.jpg] Аналогичным образом критерий формулируется и для несобственных интегралов других типов, а также обобщается на случай, когда функция f зависит от нескольких переменных и ее значения лежат в банаховом пространстве. 7) К. к. равномерной сходимости несобственных интегралов: пусть функция f(x, у).при каждом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/031205-159.jpg] где Y - некоторое множество, определена на полуинтервале [img: http://localhost:8080/file/031205-160.jpg] принимает числовые значения и при любом [img: http://localhost:8080/file/031205-161.jpg] интегрируема по хна отрезке [ а, с]. Для того чтобы интеграл [img: http://localhost:8080/file/031205-162.jpg] равномерно сходился на множестве У, необходимо, и достаточно, чтобы для любого [img: http://localhost:8080/file/031205-163.jpg] нашлось такое [img: http://localhost:8080/file/031205-164.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031205-165.jpg] что для любых [img: http://localhost:8080/file/031205-166.jpg] удовлетворяющих условиям [img: http://localhost:8080/file/031205-167.jpg] и всех [img: http://localhost:8080/file/031205-168.jpg] выполнялось неравенство [img: http://localhost:8080/file/031205-169.jpg] Этот критерий также переносится на несобственные интегралы других типов, на случай функций многих переменных и на функции, значения к-рых лежат в банаховых пространствах.