Коэффициентов проблема

для класса S - проблема для класса функций [img: http://localhost:8080/file/031207-39.jpg] регулярных и однолистных в круге [img: http://localhost:8080/file/031207-40.jpg] заключающаяся в определении для каждого [img: http://localhost:8080/file/031207-41.jpg] области значений Vn системы коэффициентов {с 2, с 3,..., с n} функций этого класса и, в частности, в нахождении точных оценок для [img: http://localhost:8080/file/031207-42.jpg] в классе S(см. Бибербаха гипотеза). К. п. для нек-рого класса Rфункций, регулярных в [img: http://localhost:8080/file/031207-43.jpg] заключается в определении в классе Л для каждого [img: http://localhost:8080/file/031207-44.jpg] области значений системы первых пкоэффициентов разложения функции класса Л в ряд по степеням z и, в частности, в получении точных оценок этих коэффициентов в классе R. К. п. решена для Каратеодори класса, для класса регулярных типично вещественных в круге функций, для класса однолистных звездообразных функций, для класса функций, регулярных и ограниченных в [img: http://localhost:8080/file/031207-45.jpg] Известно, что V2 - круг: [img: http://localhost:8080/file/031207-46.jpg] Получены глубокие качественные результаты по К. п. в классе S(см. [7]). Множество Vn - ограниченная замкнутая область, точка [img: http://localhost:8080/file/031207-47.jpg] _ внутренняя точка Vn; Vn гомеоморфно замкнутому (2n-2)-мерному шару; граница Vn состоит из конечного числа частей П 1, П 2,..., Пдт; координаты точки (с 2, с 3,..., с n).на любой одной из этих частей - функции конечного числа параметров [img: http://localhost:8080/file/031207-48.jpg] Каждой граничной точке Vn соответствует единственная функция класса S. Граница V3 состоит из двух гиперповерхностей П 1 и П 2 размерности 3 и их пересечения: поверхностей П 3 и П 4 и кривой П 5. Для П 1 и П 2 получены параметрич. формулы в терминах элементарных функций. Сечение V3 плоскостью Im с 2=0 симметрично относительно плоскостей [img: http://localhost:8080/file/031207-49.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031207-50.jpg] и Im c3=0. Сечение V3 плоскостью [img: http://localhost:8080/file/031207-51.jpg] симметрично относительно плоскостей [img: http://localhost:8080/file/031207-52.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031207-53.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/031207-54.jpg] соответствующая точке поверхности П 1, отображает [img: http://localhost:8080/file/031207-55.jpg] на плоскость w с единственным аналитич. разрезом, уходящим в бесконечность. Функция w=f(z), соответствующая точке поверхности П 2, отображает [img: http://localhost:8080/file/031207-56.jpg] на плоскость wс разрезом по трем аналитич. дугам, исходящим из нек-рой конечной точки под углом [img: http://localhost:8080/file/031207-57.jpg] друг к другу, одна из этих дуг лежит на прямой [img: http://localhost:8080/file/031207-58.jpg] и уходит в бесконечность. Были исследованы также: область значений {с 2, с 3} в подклассе функций из Sс действительными с 2 и с 3; области значений [img: http://localhost:8080/file/031207-59.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031207-60.jpg] на подклассе ограниченных функций из Sвида [img: http://localhost:8080/file/031207-61.jpg] область значений {с 2, с 3} на подклассе ограниченных функций из S;область значений {с 2, с 3, с 4} в подклассе функций из Sс действительными с 2, с 3 и с 4. Точные оценки для коэффициентов вида [img: http://localhost:8080/file/031207-62.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031207-63.jpg] получены в подклассе выпуклых функций из Sс An=1, в подклассе звездообразных функций из Sс А п=п, в подклассе нечетных звездообразных функций из Sс А п=1, n=3, 5,..., в классе однолистных функций с действительными коэффициентами с А п=п, в подклассе близких к выпуклым функций из Sс А п=п. В классе функций [img: http://localhost:8080/file/031207-64.jpg] регулярных и типично вещественных в [img: http://localhost:8080/file/031207-65.jpg] имеет место точная оценка [img: http://localhost:8080/file/031207-66.jpg] а в классе Бибербаха - Эйленберга функций [img: http://localhost:8080/file/031207-67.jpg] - точная оценка [img: http://localhost:8080/file/031207-68.jpg] Для класса [img: http://localhost:8080/file/031207-69.jpg] функций [img: http://localhost:8080/file/031207-70.jpg] мероморфных и однолистных в [img: http://localhost:8080/file/031207-71.jpg] известны точные оценки: [img: http://localhost:8080/file/031207-72.jpg] Для подкласса звездообразных функций из [img: http://localhost:8080/file/031207-73.jpg] справедлива точная оценка [img: http://localhost:8080/file/031207-74.jpg] Имеются точные оценки коэффициентов и в других подклассах из S и [img: http://localhost:8080/file/031207-75.jpg] (см. [1]-[4]), а также в нек-рых классах р-листных функций и в классах р-листных в среднем функций (см. [5]).