Кратность веса

М представления р алгебры Ли t в векторном пространстве V - размерность nM весового подпространства [img: http://localhost:8080/file/031208-178.jpg] соответствующего весу М (см. Вес представления). Пусть t - Картана подалгебра полупростой алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031208-179.jpg] над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, а [img: http://localhost:8080/file/031208-180.jpg] - ограничение на t конечномерного представления [img: http://localhost:8080/file/031208-181.jpg] алгебры [img: http://localhost:8080/file/031208-182.jpg]. В этом случае пространство Vявляется прямой суммой весовых подпространств алгебры t, соответствующих различным весам. Эти веса и их кратности часто наз. весами и кратностями весов представления [img: http://localhost:8080/file/031208-183.jpg] алгебры [img: http://localhost:8080/file/031208-184.jpg]. Пусть представление [img: http://localhost:8080/file/031208-185.jpg] неприводимо и [img: http://localhost:8080/file/031208-186.jpg] - его старший вес (см. Картана теорема о старшем векторе). Тогда [img: http://localhost:8080/file/031208-187.jpg] Для весов, отличных от старшего, известно несколько способов вычисления их кратностей. Два из них являются классическими результатами теории представлений - формула Фрейденталя и формула. Костанта. 1. Формула Фрейденталя (см. [4], [1]). Пусть (,) - естественное скалярное произведение на сопряженном к [img: http://localhost:8080/file/031208-188.jpg] пространстве [img: http://localhost:8080/file/031208-189.jpg] индуцированное Киллинга формой на [img: http://localhost:8080/file/031208-190.jpg] - система корней алгебры [img: http://localhost:8080/file/031208-191.jpg] относительно t и > - отношение частичного порядка на [img: http://localhost:8080/file/031208-192.jpg] определенное какой-либо фиксированной системой простых корней [img: http://localhost:8080/file/031208-193.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/031208-194.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031208-195.jpg] и, по определению, [img: http://localhost:8080/file/031208-196.jpg] если N не вес представления [img: http://localhost:8080/file/031208-197.jpg] Для любого веса [img: http://localhost:8080/file/031208-198.jpg] множитель при [img: http://localhost:8080/file/031208-199.jpg] в левой части формулы отличен от нуля. Эта формула имеет рекуррентный характер: она позволяет выразить [img: http://localhost:8080/file/031208-200.jpg] через [img: http://localhost:8080/file/031208-201.jpg] если N>М. Поскольку известно, что [img: http://localhost:8080/file/031208-202.jpg] формула Фрейденталя дает эффективный способ нахождения кратностей [img: http://localhost:8080/file/031208-203.jpg] 2. Формула Костанта (см. [5], [1]). Пусть [img: http://localhost:8080/file/031208-204.jpg] Множество Г является подгруппой по сложению в [img: http://localhost:8080/file/031208-205.jpg] инвариантной относительно группы Вейля W, к-рая действует в [img: http://localhost:8080/file/031208-206.jpg] естественным образом. Элемент [img: http://localhost:8080/file/031208-207.jpg] а также все веса представления s лежат в Г. Пусть для каждого [img: http://localhost:8080/file/031208-208.jpg] число Р(М) равно количеству способов записи М в виде суммы положительных корней, т. е. Р(М) - это число решений [img: http://localhost:8080/file/031208-209.jpg] уравнения [img: http://localhost:8080/file/031208-210.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031208-211.jpg] при всех а. Функция Р(М) на Г наз. функцией разбиения. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031208-212.jpg] Практическое использование приведенных выше формул связано с громоздкими вычислениями. Для полупростых алгебр ранга 2 имеются более удобные геометрические правила подсчета К. в. (см. [2]).