Кратный интеграл

- определенный интеграл от функции нескольких переменных. Имеются различные понятия К. и. (интеграл Римана, интеграл Лебега, интеграл Лебега - Стилтьеса и др.). Кратный интеграл Римана вводится на основе Жордана меры [img: http://localhost:8080/file/031209-9.jpg] Пусть Е- измеримое по Жордану множество n-мерного евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/031209-10.jpg] есть n-мерная мера Жордана и [img: http://localhost:8080/file/031209-11.jpg] - разбиение множества Е, т. е. такая система измеримых по Жордану множеств Ei, что [img: http://localhost:8080/file/031209-12.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031209-13.jpg] Величину [img: http://localhost:8080/file/031209-14.jpg] где d(Ei) - диаметр множества Е i, наз. мелкостью разбиения [img: http://localhost:8080/file/031209-15.jpg] Если функция [img: http://localhost:8080/file/031209-16.jpg] определена на множестве Е, то всякую сумму вида [img: http://localhost:8080/file/031209-17.jpg] наз. интегральной суммой Римана функции f. Если для функции f существует [img: http://localhost:8080/file/031209-18.jpg] независящий от разбиения, то этот предел наз. n-к ратным интегралом Римана и обозначают [img: http://localhost:8080/file/031209-19.jpg] Саму функцию fназ. в этом случае интегрируемой по Риману, короче - R-интегрируемой. В случае n=1 в качестве множества Е, по к-рому производится интегрирование, обычно берется отрезок, а в качестве его разбиений t рассматриваются разбиения, состоящие также только из отрезков (см. Римана интеграл). Таким образом, в этом случае как множество, по к-рому производится интегрирование, так и элементы разбиения представляют собой измеримые по Жордану множества весьма специального вида --отрезки. Поэтому не все свойства R-интегрируемых на отрезке функций справедливы для функций Д-интегрируемых на произвольных измеримых по Жордану множествах. Напр., из того, что любая функция, определенная на множестве жордановой меры нуль, Д-интегрируема на нем, следует, что Д-интегрируемые функции могут быть неограниченными, это невозможно для Д-интегрируемых функций на отрезках. Чтобы из Д-интегрируемости функции на нек-ром множестве следовала ограниченность функции, на рассматриваемое множество налагают дополнительные условия, напр, чтобы у него существовали сколь угодно мелкие разбиения, все элементы к-рых имеют положительную меру Жордана. К таким множествам относятся все измеримые по Жордану открытые множества и их замыкания, в частности измеримые по Жордану области и их замыкания. Имеь-но для таких множеств большей частью и используется кратный интеграл Римана. В случае n=2 (n=3) К. и. наз. двойным (т р о й н ы м). Поскольку кратный интеграл Римана можно брать только по множествам, измеримым по Жордану (в случае n=2 они наз. также квадрируемыми, а при n=3 - кубируемыми множествами), то двойной (тройной) интеграл Римана рассматривают только на множествах (обычно областях или их замыканиях), границы к-рых имеют площади (объемы) в смысле Жордана, равные нулю. Интеграл Римана от ограниченных функций n переменных [img: http://localhost:8080/file/031209-20.jpg] обладает обычными свойствами интеграла (линейность, аддитивность относительно множеств, по к-рым производится интегрирование, сохранение при интегрировании нестрогих неравенств, интегрируемость произведения интегрируемых функций и т. п.). Кратный интеграл Римана может быть сведен к повторному интегралу. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031209-21.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031209-22.jpg] Е- измеримое в Rn по Жордану множество, [img: http://localhost:8080/file/031209-23.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/031209-24.jpg] - сечение множества Е(n-m)-мерной гиперплоскостью [img: http://localhost:8080/file/031209-25.jpg] - проекция Ена гиперплоскость [img: http://localhost:8080/file/031209-26.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031209-27.jpg] измеримы соответственно в смысле (n-m)-мерной и m-мер-ной меры Жордана. Тогда, если функция f Д-интегрируема на множестве Еи для всех [img: http://localhost:8080/file/031209-28.jpg] существуют (n-m)-кратные интегралы от ее сужения на множестве [img: http://localhost:8080/file/031209-29.jpg] то существует повторный интеграл [img: http://localhost:8080/file/031209-30.jpg] где внешний интеграл является m-кратным интегралом Римана, и [img: http://localhost:8080/file/031209-31.jpg] Для случая n=3 отсюда следуют формулы: 1) Если [img: http://localhost:8080/file/031209-32.jpg] - проекция Eна плоскость [img: http://localhost:8080/file/031209-33.jpg] а функции [img: http://localhost:8080/file/031209-34.jpg] таковы, что множество Еограничено в направлении оси z их графиками, т. е. [img: http://localhost:8080/file/031209-35.jpg] 2) Пусть проекцией множества Ена ось Ох является отрезок [img: http://localhost:8080/file/031209-36.jpg] - сечение множества Еплоскостью, параллельной плоскости [img: http://localhost:8080/file/031209-37.jpg] и проходящей через точку х, тогда [img: http://localhost:8080/file/031209-38.jpg] В случае, когда Gявляется измеримой по Жордану областью в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031209-39.jpg] - взаимно однозначное отображение G на измеримую область Г пространства [img: http://localhost:8080/file/031209-40.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031209-41.jpg] непрерывно дифференцируемо на замыкании [img: http://localhost:8080/file/031209-42.jpg] области G, для интегрируемой на [img: http://localhost:8080/file/031209-43.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/031209-44.jpg] функции f (х).справедлива формула замены переменного в интеграле [img: http://localhost:8080/file/031209-45.jpg] где J(t) - якобиан отображения j. Геометрический смысл кратного интеграла Римана от функции ппеременных связан с понятием (п+1)-мерной меры Жордана [img: http://localhost:8080/file/031209-47.jpg] если функция f (х).интегрируема на множестве [img: http://localhost:8080/file/031209-48.jpg] на Еи [img: http://localhost:8080/file/031209-49.jpg] Кратным интегралом Лебега наз, Лебега интеграл от функций многих переменных, его определение базируется на понятии Лебега меры в n-мерном евклидовом пространстве. Кратный интеграл Лебега может быть сведен к повторному интегралу (см. Фубини теорема). Для непрерывно дифференцируемых взаимно однозначных отображений областей справедлива формула замены переменного (1), а также формула (2), выражающая геометрии, смысл кратного интеграла Лебега, в к-рой под мерой [img: http://localhost:8080/file/031209-50.jpg] следует понимать (n+1)-мерную меру Лебега. Понятие К. и. переносится на функции, интегрируемые по множеству А, принадлежащему произведению [img: http://localhost:8080/file/031209-51.jpg] пространств Xи У, в каждом из к-рых заданы [img: http://localhost:8080/file/031209-52.jpg] -конечные полные неотрицательные меры, соответственно [img: http://localhost:8080/file/031209-53.jpg] при этом интегрирование по множеству Апроизводится по мере [img: http://localhost:8080/file/031209-54.jpg] являющейся произведением мер [img: http://localhost:8080/file/031209-55.jpg] Для функций многих переменных существует также понятие несобственного К. и. (см. Несобственный интеграл). Понятие К. и. применяется также к неопределенным интегралам функций многих переменных. Под неопределенным К. и. понимают функцию множества [img: http://localhost:8080/file/031209-56.jpg] где Е - измеримое множество. Если, напр., f(x).интегрируема по Лебегу на нек-ром множестве, то ее неопределенный интеграл F(Е).почти всюду на этом множестве имеет функцию f(x).своей симметричной производной. В этом смысле (аналогично случаю функций одной переменной) взятие неопределенного К. и. является операцией, обратной к операции дифференцирования функции множества.