Кремоны группа

- группа [img: http://localhost:8080/file/031209-89.jpg] бирациональных автоморфизмов проективного пространства [img: http://localhost:8080/file/031209-90.jpg] над полем k, или, что то же, группа кремоновых преобразований пространства [img: http://localhost:8080/file/031209-91.jpg] Группа [img: http://localhost:8080/file/031209-92.jpg] естественным образом содержит в качестве подгруппы группу [img: http://localhost:8080/file/031209-93.jpg] проективных преобразований пространства [img: http://localhost:8080/file/031209-94.jpg] причем при [img: http://localhost:8080/file/031209-95.jpg] эти группы не совпадают. Группа [img: http://localhost:8080/file/031209-96.jpg] будет изоморфна группе [img: http://localhost:8080/file/031209-97.jpg] автоморфизмов над kполя рациональных функций от ппеременных над k. Основным результатом о К. г. проективной плоскости является теорема Нётера: группа [img: http://localhost:8080/file/031209-98.jpg] над алгебраически замкнутым полем порождается квадратичными преобразованиями или, что эквивалентно, стандартным квадратичным преобразованием и проективными преобразованиями (см. [1], [7]). Неизвестно (1982), является ли эта группа простой. Существует обобщение теоремы Нётера на случай, когда основное поле kне является алгебраически замкнутым (см. [5]). Одна из труднейших проблем бирациональной геометрии - проблема описания строения группы [img: http://localhost:8080/file/031209-99.jpg] к-рая уже не порождается квадратичными преобразованиями. Почти во всех работах о кремоновых преобразованиях 3-мерного пространства изучаются лишь конкретные примеры таких преобразований. О строении К. г. пространства размерности выше 3 почти ничего не известно. Важное направление исследований К. г. связано с изучением подгрупп группы [img: http://localhost:8080/file/031209-100.jpg] С точностью до сопряженности описаны конечные подгруппы в [img: http://localhost:8080/file/031209-101.jpg] над алгебраически замкнутым полем k(см. [8], а также [6]). Классификация всех инволюций в [img: http://localhost:8080/file/031209-102.jpg] получена еще в 1877 Э. Бертини (E. Bertini, см., напр., [4], [5]). Вопрос об описании всех инволюций в [img: http://localhost:8080/file/031209-103.jpg] открыт. Все максимальные связные алгебраич. подгруппы в [img: http://localhost:8080/file/031209-104.jpg] описаны Ф. Энрикесом (F. Enriques) в 1893 (см. [4]). Это в точности группы автоморфизмов всех минимальных моделей рациональных поверхностей, т. е. плоскости [img: http://localhost:8080/file/031209-105.jpg] квадрики [img: http://localhost:8080/file/031209-106.jpg] и серии линейчатых поверхностей [img: http://localhost:8080/file/031209-107.jpg] Имеются нек-рые обобщения этого результата (см. [3], [9]) на случай группы [img: http://localhost:8080/file/031209-108.jpg]