Кривизна

- собирательное название ряда количественных характеристик (численных, векторных, тензорных), описывающих отклонение свойств того или иного объекта (кривой, поверхности, риманова пространства и др.) от соответствующих объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и др.), к-рые считаются плоскими. Обычно понятия К. вводятся локально, то есть в лаждой точке. Эти понятия К. связаны с рассмотрением отклонений 2-го порядка малости, поэтому предполагается задание изучаемого объекта С 2- гладкими функциями. В ряде случаев вводят интегральные понятия, к-рые сохраняются и при отказе от С 2 -гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль К. во всех точках приводит к совпадению (на малых участках, но не в целом) изучаемого объекта с "плоским" объектом. Кривизна кривой. Пусть g - регулярная кривая в n-мерном евклидовом пространстве, параметризованная натуральным параметром t. Пусть далее [img: http://localhost:8080/file/031209-110.jpg] - соответственно угол между касательными к кривой g в точках Ри Р 1 этой кривой и длина дуги кривой между Ри Р 1. Тогда предел [img: http://localhost:8080/file/031209-112.jpg] наз. кривизне и кривой g в точке Р. К. кривой g равна модулю вектора [img: http://localhost:8080/file/031209-115.jpg] а направление этого вектора совпадает с направлением главной нормали кривой. Для того чтобы кривая g совпадала с нек-рым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы К. кривой kтождественно равнялась нулю. Кривизна поверхности. Пусть Ф - регулярная поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Пусть Р - точка [img: http://localhost:8080/file/031209-117.jpg] - касательная плоскость к Ф в точке [img: http://localhost:8080/file/031209-118.jpg] - нормаль к Ф в точке P,a - плоскость, проходящая через пи нек-рый единичный вектор [img: http://localhost:8080/file/031209-120.jpg] Кривая [img: http://localhost:8080/file/031209-121.jpg], получающаяся при пересечении плоскости а и поверхности Ф, наз. нормальным сечением поверхности Ф в точке Рвнаправлении l. Величина [img: http://localhost:8080/file/031209-122.jpg] где t - натуральный параметр на кривой g, наз. нормальной кривизной поверхности Ф в направлении l. С точностью до знака нормальная К. равна К. кривой [img: http://localhost:8080/file/031209-124.jpg] В касательной плоскости Тр существуют два перпендикулярных направления [img: http://localhost:8080/file/031209-125.jpg] такие, что нормальную К. в произвольном направлении можно представить с помощью так наз. формулы Эйлера: [img: http://localhost:8080/file/031209-126.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031209-127.jpg] - угол между l1 и l2. Величины k1 и k2, являющиеся нормальными К. в направлениях l1 и l2, наз. главными кривизнами, а направления l1 и l2 - главными направлениями поверхности. Главные К. являются экстремальными значениями нормальных К. Структуру нормальных К. в данной точке поверхности удобно графически изображать следующим образом. При [img: http://localhost:8080/file/031209-128.jpg] уравнение [img: http://localhost:8080/file/031209-129.jpg] где r(l) - радиус-вектор, задает в касательной плоскости Тр нек-рую кривую 2-го порядка, к-рая наз. индикатрисой Дюпена. Индикатриса Дюпена может быть одной из следующих трех кривых: эллипсом, гиперболой или парой параллельных прямых. Соответственно этому точки поверхности подразделяются на эллиптические, гиперболические и параболические. В эллиптич. точке 2-я квадратичная форма поверхности знакоопределенна, в гиперболической точке - знаконеопроделенна, а в параболич. точке - вырождена. В случае, если все нормальные К. в точке равны нулю, точка наз. точкой уплощения. Если индикатриса Дюпена является кругом, то такую эллиптич. точку наз. шаровой (или омбилической) точкой. Главные направления определены однозначно (с точностью до перенумерации) в том случае, если точка не является шаровой точкой или точкой уплощения. В этих случаях любое направление является главным. Имеет место теорема Родрига, в силу к-рой необходимым и достаточным условием того, что направление l - главное, является выполнение условия [img: http://localhost:8080/file/031209-130.jpg] где r - радиус-вектор поверхности, п - вектор единичной нормали. Линия на поверхности наз. л и н и е й к р и в и з н ы, если ее направление в каждой точке является главным. В окрестности каждой точки Рповерхности, к-рая не является шаровой точкой пли точкой уплощения, поверхность можно параметризировать так, что ее координатные линии будут линиями К. Величина [img: http://localhost:8080/file/031209-131.jpg] наз. средней кривизной поверхности. Величина [img: http://localhost:8080/file/031209-132.jpg] наз. гауссовой (или полной) кривизной поверхности. Гауссова К. является объектом внутренней геометрии поверхностей, т. е. может быть выражена только через 1-ю квадратичную форму: [img: http://localhost:8080/file/031209-133.jpg] где Е, F, G - коэффициенты 1-й квадратичной формы поверхности. С помощью формулы (1) гауссова К. вводится для абстрактного двумерного риманова многообразия с линейным элементом [img: http://localhost:8080/file/031209-134.jpg] Для того чтобы поверхность была локально изометрична плоскости, необходимо и достаточно, чтобы ее гауссова К. была тождественно равна нулю. Кривизна риманова пространства. Пусть М n - регулярное n-мерное риманово пространство, ВМ n - пространство регулярных векторных полей на М n. К. риманова пространства М п обычно характеризуют с помощью Римана тензора, т. е. полилинейного отображения [img: http://localhost:8080/file/031209-135.jpg] к-рое задано соотношением [img: http://localhost:8080/file/031209-136.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031209-137.jpg] - связность Леви-Чивита на [img: http://localhost:8080/file/031209-138.jpg] - скобка Ли. Если в нек-рой локальной системе координат [img: http://localhost:8080/file/031209-139.jpg] положить [img: http://localhost:8080/file/031209-140.jpg] то формуле (2) можно придать следующий вид: [img: http://localhost:8080/file/031209-141.jpg] где; - знак ковариантной производной. Таким образом, тензор Римана является количественной характеристикой некоммутативности вторых ковариантных производных в римановом пространстве. С помощью тензора Римана количественно описывается и ряд других свойств римановых пространств, отличающих их от евклидовых. Коэффициенты тензора Римана в локальной системе координат х i могут быть выражены через символы Кристоффеля и коэффициенты метрич. тензора следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/031209-142.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031209-143.jpg] - тензор Римана с опущенным индексом, или - в бескоординатных обозначениях - отображение [img: http://localhost:8080/file/031209-144.jpg] - знак скалярного произведения). Тензор Римана имеет следующие свойства симметрии: [img: http://localhost:8080/file/031209-145.jpg] к-рые в локальных координатах можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/031209-146.jpg] Тензор Римана имеет [img: http://localhost:8080/file/031209-147.jpg] алгебраически независимых компонент. Справедливо так наз. тождество Бьянки для ковариантных производных тензора Римана [img: http://localhost:8080/file/031209-148.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031209-149.jpg] - ковариантная производная [img: http://localhost:8080/file/031209-150.jpg] по X. В локальных координатах это тождество имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031209-151.jpg] Иногда тензор Римана определяют с обратным знаком. Необходимым и достаточным условием локальной изометричности риманова пространства евклидову является равенство нулю его тензора Римана. Используют и иной, эквивалентный подход к описанию свойств К. риманова пространства [img: http://localhost:8080/file/031209-152.jpg] Пусть s - двумерное линейное пространство касательного пространства [img: http://localhost:8080/file/031209-153.jpg] в точке Р. Тогда секционной кривизной [img: http://localhost:8080/file/031209-154.jpg] в точке Рв направлении о наз. величина [img: http://localhost:8080/file/031209-155.jpg] где Vи W - векторы, определяющие а. Одна и та же площадка s может определяться разными векторами V и W, однако [img: http://localhost:8080/file/031209-157.jpg] не зависит от выбора различных векторов, определяющих одну и ту же площадку. Для двумерного риманова пространства секционная К. совпадает с гауссовой К. Тензор Римана может быть восстановлен по секционным кривизнам следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/031209-158.jpg] Используют и менее детальные характеристики К. риманова пространства - тензор Риччи: [img: http://localhost:8080/file/031209-159.jpg] и скалярную кривизну, или кривизну Р и ч ч и: [img: http://localhost:8080/file/031209-160.jpg] Тензор Риччи симметричен: [img: http://localhost:8080/file/031209-161.jpg] Иногда для характеристики К. употребляют и более сложные, в частности квадратичные, конструкции, построенные из тензора Римана. Одним из наиболее употребительных инвариантов такого рода является инвариант [img: http://localhost:8080/file/031209-162.jpg] используемый при изучении поля тяготения Шварцшильда. Для двумерного пространства тензор Римана имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031209-163.jpg] где К - Гауссова К. В этом случае кривизна Риччи равна К. Для трехмерного пространства тензор Римана имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031209-164.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031209-165.jpg] - метрический тензор, [img: http://localhost:8080/file/031209-166.jpg] - тензор Риччи, R - кривизна Риччи. В том случае, если секционные К. не зависят ни от точки, ни от двумерного направления, пространство М n наз. пространством постоянной кривизны; тензор Римана такого пространства имеет вид (3) (константа Кназ. кривизной пространства М п). При n>2 оказывается, что если во всех точках К. не зависят от направления, то пространство М п является пространством постоянной К. (теорема Шура). Кривизна подмногообразий. Пусть Ф - регулярная поверхность в [img: http://localhost:8080/file/031209-167.jpg] - кривая на Ф, [img: http://localhost:8080/file/031209-168.jpg] - касательная плоскость кФ в точке Р, через к-рую проходит кривая g. Пусть малая окрестность точки Р проектируется на плоскость [img: http://localhost:8080/file/031209-170.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/031209-171.jpg] - проекция кривой g на плоскость [img: http://localhost:8080/file/031209-173.jpg] Геодезической кривизной [img: http://localhost:8080/file/031209-174.jpg] кривой g в точке Рназ. число, равное по модулю К. кривой g в точке Р. Геодезическая К. считается положительной, если вращение касательной кривой [img: http://localhost:8080/file/031209-177.jpg] при прохождении точки Робразует с направлением нормали к поверхности правый винт. Геодезическая К. является объектом внутренней геометрии поверхности Ф. Геодезическая К. может быть вычислена по формуле [img: http://localhost:8080/file/031209-178.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031209-179.jpg] - натуральное уравнение кривой g в локальных координатах [img: http://localhost:8080/file/031209-181.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/031209-182.jpg] - компоненты метрич. тензора поверхности Ф в этих координатах, [img: http://localhost:8080/file/031209-183.jpg] - символы Кристоффеля, [img: http://localhost:8080/file/031209-184.jpg] - вполне дискриминантный тензор. С помощью формулы (4) вводится понятие геодезической К. для кривой на абстрактном двумерном римановом пространстве. Необходимым и достаточным условием того, что кривая на римановом многообразии совпадает с геодезической или с ее отрезком, является тождественное равенство нулю геодезической К. Пусть Ф - двумерное подмногообразие трехмерного риманова пространства М'. К определению К. для Ф можно подойти двумя способами. С одной стороны, можно рассматривать Ф как риманово пространство, метрика к-рого индуцирована метрикой М, и определить его К. но формуле (1). Полученная таким образом К. наз. внутренней кривизной. С другой стороны, можно провести построение, приводящее к понятию К. для поверхности в евклидовом пространстве и для подмногообразия риманова пространства. В результате получается иное понятие К.; эта К. наз. внешней кривизной. Справедливо следующее соотношение: [img: http://localhost:8080/file/031209-185.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031209-186.jpg] - К. пространства Мв направлении касательной плоскости к Ф. Понятия нормальной, внешней и внутренней К. допускают обобщение на размерности и коразмерности изучаемого подмногообразия. Понятие тензора Римана обобщено на ряд пространств, имеющих менее сильные структуры, чем риманово пространство. Напр., тензоры Римана и Риччи зависят лишь от аффинной структуры риманова пространства и могут быть введены и для пространства аффинной связности (однако в этом случае тензоры Римана и Риччи обладают не всеми свойствами симметрии). Напр., [img: http://localhost:8080/file/031209-187.jpg] Другими примерами такого рода являются тензор конформной К. и тензор проективной К. Тензор конформной кривизны (тензор В е й л я) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031209-188.jpg] где квадратные скобки означают альтернацию по заключенным в них индексам. Равенство нулю тензора конформной К. является необходимым и достаточным условием того, что данное пространство локально совпадает с конформно-евклидовым пространством. Тензор проективной кривизны имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031210-1.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031210-2.jpg] - символ Кронекера, п - размерность пространства. Равенство нулю тензора проективной К. является необходимым и достаточным условием того, что данное пространство локально совпадает с проективно-евклидовым пространством. Понятие К. обобщено на случай нерегулярных объектов, в частности на случай теории двумерных многообразий ограниченной кривизны. К. в пространстве здесь рассматривается не в точке, а в области, и говорят о полной, или интегральной, кривизне области. В регулярном случае полная К. равна интегралу от гауссовой К. Полная К. геодезич. треугольника может быть выражена через углы [img: http://localhost:8080/file/031210-3.jpg] при вершинах этого треугольника соотношением [img: http://localhost:8080/file/031210-4.jpg] являющимся частным случаем Гаусса - Бонне теоремы. Формула (5) была положена в основу определения полной К. для многообразий ограниченной К. Понятие К. является одним из основных понятий современной дифференциальной геометрии. Ограничения на К. дают обычно содержательную информацию об объекте. Так, в теории поверхностей [img: http://localhost:8080/file/031210-5.jpg] знак гауссовой К. определяет тип точки (эллиптический, гиперболический, параболический). Поверхности с всюду неотрицательной гауссовой К. обладают целым набором общих свойств, к-рые позволяют объединять их в один естественный класс (см. [4], [6]). Много специфических свойств имеют поверхности нулевой средней К. (см. Минимальная поверхность). В теории нерегулярных поверхностей специально изучают классы поверхностей ограниченной интегральной абсолютной гауссовой или средней К. В римановых пространствах равномерное ограничение секционных кривизн [img: http://localhost:8080/file/031210-6.jpg] пространства в любой его точке и любом двумерном направлении позволяет использовать теоремы сравнения. Последние позволяют сравнивать скорость расхождения геодезических и объемы областей в рассматриваемом пространстве с характеристиками соответствующих линий и областей в пространстве постоянной К. Некоторые из ограничений на [img: http://localhost:8080/file/031210-7.jpg] даже предопределяют топологич. строение пространства в целом. Например: Теорема о сфере. Пусть Мполное односвязное риманово пространство размерности [img: http://localhost:8080/file/031210-8.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031210-9.jpg] Тогда Мгомеоморфно сфере Sn. Теоремы Адамара - Картана и Громола - Майера. Пусть Мполное риманово пространство размерности [img: http://localhost:8080/file/031210-10.jpg] Если всюду [img: http://localhost:8080/file/031210-11.jpg] и Модносвязно или всюду [img: http://localhost:8080/file/031210-12.jpg] и Мнекомпактно, то Мгомеоморфно евклидову пространству [img: http://localhost:8080/file/031210-13.jpg] Понятия К. используются в различных естественных науках. Так, при движении тела по траектории с ее К. связана центробежная сила. Гауссова К. возникла в связи с работами К. Гаусса (К. Gauss) по картографии. Со средней К. поверхности жидкости связан капиллярный аффект. В относительности теории с распределением вещества и энергии (точнее, с тензором энергии-импульса) связана К. пространства-времени (см. Пространство-время). Тензор конформной К. находит применение в теории рождения частиц в гравитационном поле.