Криволинейный интеграл

интеграл по кривой. Пусть в тг-мерном евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/031210-40.jpg] задана спрямляемая кривая [img: http://localhost:8080/file/031210-41.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031210-42.jpg] - длина дуги и на кривой g задана функция F=F(x(s)). К. и. [img: http://localhost:8080/file/031210-44.jpg] определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/031210-45.jpg] (справа - интеграл по отрезку) и наз. криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги. Он является пределом соответствующих интегральных сумм, к-рые могут быть описаны в терминах, связанных с кривой. Напр., если функция F(x(s)).интегрируема по Риману (см. Римана интеграл), [img: http://localhost:8080/file/031210-46.jpg] - разбиение отрезка [img: http://localhost:8080/file/031210-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031210-48.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031210-49.jpg] - его мелкость, [img: http://localhost:8080/file/031210-50.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031210-51.jpg] - длина части кривой g от точки x(si-1). до точки [img: http://localhost:8080/file/031210-53.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031210-54.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031210-55.jpg] Если спрямляемая кривая g задана параметрическим представлением, [img: http://localhost:8080/file/031210-57.jpg] и на ней задана функция F=F(x(t)), то интеграл [img: http://localhost:8080/file/031210-58.jpg] определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/031210-59.jpg] (справа - Стилтъеса интеграл).и наз. к р и в о л и-нейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координате х k. Он также является пределом соответствующих интегральных сумм: если [img: http://localhost:8080/file/031210-60.jpg] разбиение отрезка [img: http://localhost:8080/file/031210-61.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031210-62.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031210-63.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031210-64.jpg] Если F - непрерывная на спрямляемой кривой функция, то К. и. (1) и (2) всегда существуют. Если А- начало, а В- конец кривой g, то К. и. (1) и (2) обозначаются также через [img: http://localhost:8080/file/031210-66.jpg] К. и. первого рода не зависит от ориентации кривой: [img: http://localhost:8080/file/031210-67.jpg] а К. и. второго рода меняет знак при изменении ориентации кривой: [img: http://localhost:8080/file/031210-68.jpg] Если g - непрерывно дифференцируемая кривая, [img: http://localhost:8080/file/031210-70.jpg] - ее непрерывно дифференцируемое представление, [img: http://localhost:8080/file/031210-71.jpg] и F - непрерывная на g функция, то [img: http://localhost:8080/file/031210-73.jpg] и тем самым интегралы, стоящие в правой части этих равенств, не зависят от выбора параметра на кривой g. Если [img: http://localhost:8080/file/031210-75.jpg] - единичный касательный вектор к кривой g, то К. н. второго рода выражается через К. и. первого рода по формуле [img: http://localhost:8080/file/031210-77.jpg] Если кривая g задана векторным представлением [img: http://localhost:8080/file/031210-79.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031210-80.jpg] - векторная функция, определенная на g, то, по определению, [img: http://localhost:8080/file/031210-82.jpg] Связь между К. и. и интегралами других видов устанавливается Грина формулой и Стокса формулой. С помощью К. и. можно вычислять площади плоских областей: если конечная плоская область Gограничена спрямляемым простым контуром g, то ее площадь равна [img: http://localhost:8080/file/031210-84.jpg] где контур g ориентирован против часовой стрелки. Если вдоль кривой g распределена нек-рая масса Мс линейной плотностьюr(x), то [img: http://localhost:8080/file/031210-88.jpg] Если F(х) - напряженность силового поля (т. е. сила, действующая на единицу массы), тогда [img: http://localhost:8080/file/031210-89.jpg] равен работе силового поля вдоль кривой Y при перемещении вдоль g единичной массы. К. и. используются в теории векторных полей. Если непрерывное векторное поле [img: http://localhost:8080/file/031210-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031210-92.jpg] определено на нек-рой л-мерной области G, n>1, то следующие три свойства эквивалентны. 1) Для любой замкнутой спрямляемой кривой [img: http://localhost:8080/file/031210-93.jpg] справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/031210-94.jpg] (векторное поле, обладающее этим свойством, наз. потенциальным). 2) Для любой пары точек [img: http://localhost:8080/file/031210-95.jpg] и для любых двух спрямляемых кривых [img: http://localhost:8080/file/031210-96.jpg] с началом в точко Аи концом в точке В: [img: http://localhost:8080/file/031210-97.jpg] 3) В области Gсуществует такая функция и(х).(называемая потенциальной функцией векторного поля а(х)), что [img: http://localhost:8080/file/031210-98.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/031210-99.jpg] при этом для любых [img: http://localhost:8080/file/031210-100.jpg] и любой кривой [img: http://localhost:8080/file/031210-101.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031210-102.jpg] Если n=2 или n=3 и область Gодносвязна при n=2 и поверхностно односвязна при п=3, а поле [img: http://localhost:8080/file/031210-103.jpg] непрерывно дифференцируемо, то свойства 1) - 3) эквивалентны следующему свойству. 4) Вихрь векторного поля в области G равен нулю: [img: http://localhost:8080/file/031210-104.jpg] Если условие односвязности области G не выполнено, то свойство 4) не эквивалентно, вообще говоря, свойствам 1) - 3). Напр., для поля [img: http://localhost:8080/file/031210-105.jpg] определенного на плоскости с выброшенным началом координат, имеем [img: http://localhost:8080/file/031210-106.jpg] но [img: http://localhost:8080/file/031210-107.jpg]