Кристаллографическая группа

дискретная группа движений n-мерного евклидова пространства Е п, имеющая ограниченную фундаментальную область. Две К. г. считаются эквивалентными, если они сопряжены в группе аффинных преобразований пространства Е п. Происхождение теории К. г. связано с изучением симметрии орнаментов (п=2).и кристаллических структур (n=3). Классификация всех плоских (двумерных) и пространственных (трехмерных) К. г. была получена в конце 19 в. Е. С. Федоровым ц несколько позже А. Шёнфлисом (см. [2], [3], а также [6], [7], [9]). С точностью до эквивалентности имеется 17 плоских и 219 пространственных К. г.; если же рассматривать пространственные группы с точностью до сопряженности при помощи аффинных преобразований, сохраняющих ориентацию, то их будет 230. В 1910 Л. Бибербахом были исследованы К. г. в произвольной размерности [4]. Он доказал, в частности, следующие теоремы. 1) Всякая re-мерная К. г. Г содержит плинейно независимых параллельных переносов; группа Gлинейных частей преобразований из Г конечна. (Для n=3 это было доказано в [3].) 2) Две К. г. эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны как абстрактные группы. 3) При любом пимеется лишь конечное число n-мерных К. г., рассматриваемых с точностью до эквивалентности (что является решением 18-й проблемы Гильберта). Теорема 1) позволяет дать следующее описание строения К. г. как абстрактных групп. Пусть L - совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих К. г. Г. Тогда L - нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная [img: http://localhost:8080/file/031210-164.jpg] и совпадающая со своим централизатором в Г. Наличие такой нормальной подгруппы Lв абстрактной группе Г является и достаточным условием того, чтобы группа Г была изоморфна К. г. [7]. Группа G линейных частей К. г. Г сохраняет решетку L', иными словами, в базисе решетки Lпреобразования из G записываются целочисленными матрицами. Для того чтобы задать К. г. Г, нужно, помимо G и L, указать для каждого [img: http://localhost:8080/file/031210-165.jpg] такой вектор a(g), что преобразование [img: http://localhost:8080/file/031210-166.jpg] принадлежит группе Г. Вектор a(g).определен с точностью до прибавления вектора из L. Отображение [img: http://localhost:8080/file/031210-167.jpg] является одномерным коциклом на Gсо значениями в V/L, где V - векторное пространство, ассоциированное с Е п. Любая тройка [img: http://localhost:8080/file/031210-168.jpg] - конечная линейная группа, L -G-инвариантная решетка и а - одномерный коцикл на G со значениями в V/L, соответствует указанным образом нек-рой К. г. При этом тройки [img: http://localhost:8080/file/031210-169.jpg] - когомологичные коциклы, соответствуют эквивалентным К. г. Нулевому классу когомологпй соответствует расщепляемая (или с и м м о р ф н а я) К. г., к-рая, при подходящем выборе начала отсчета, состоит из всех преобразований вида [img: http://localhost:8080/file/031210-170.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031210-171.jpg] В матричной интерпретации описание всех n-мерных К. г. сводится к описанию всех конечных групп целочисленных матриц порядка п(с точностью до сопряженности в группе [img: http://localhost:8080/file/031210-172.jpg]) и, для каждой такой группы G, к вычислению группы когомологий [img: http://localhost:8080/file/031210-173.jpg] Двум классам когомологий отвечают эквивалентные К. г. тогда и только тогда, когда они переводятся друг в друга нормализатором группы G в [img: http://localhost:8080/file/031210-174.jpg] Теорема 2) Бибербаха и результат X. Цассенхауза [7] означают, что естественный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031210-175.jpg] является изоморфизмом. Это легко может быть выведено из точной последовательности когомологий группы G. Две К. г. относятся к одному классу (соответственно арифметическому классу), если их группы линейных частей сопряжены в [img: http://localhost:8080/file/031210-176.jpg] (соответственно в [img: http://localhost:8080/file/031210-177.jpg]). При ге=3 имеется 32 класса и 73 арифметических класса К. г. Среди конечных групп целочисленных матриц можно выделить группы симметрии решеток, т. е. группы всех ортогональных преобразований, сохраняющих какую-либо заданную решетку в векторном пространстве (и записанных в базисе этой решетки). В 1848 О. Браве (A. Bravais) определил все возможные группы симметрии 3-мерных решеток и разбил в соответствии с этим все 3-мерные решетки на 14 типов (так наз. типы Браве). Подгруппы группы [img: http://localhost:8080/file/031210-178.jpg] являющиеся группами симметрии решеток, наз. подгруппами Браве. Подгруппы Браве можно интерпретировать также как стационарные подгруппы для естественного действия группы [img: http://localhost:8080/file/031210-179.jpg] на множестве положительно определенных квадратичных форм от n переменных. Поэтому для их нахождения может быть использована теория приведения (см. [11]). Всякая максимальная конечная подгруппа группы [img: http://localhost:8080/file/031210-180.jpg] является подгруппой Браве (но не наоборот). Приводимая таблица дает число конечных подгрупп в группе [img: http://localhost:8080/file/031210-181.jpg] (рассматриваемых с точностью до сопряженности). п Число максимальных конечных подгрупп Число подгрупп Браве Число конечных подгрупп 1 1 1 2 2 2 5 13 3 4 14 73 4 9 64 710 5 17 ? ? Пересечение подгрупп Браве также есть подгруппа Браве. Наименьшая подгруппа Браве [img: http://localhost:8080/file/031210-182.jpg] содержащая группу G линейных частей К. г. Г и рассматриваемая с точностью до сопряженности в [img: http://localhost:8080/file/031210-183.jpg] (соответственно в [img: http://localhost:8080/file/031210-184.jpg]), наз. геометрической (соответственно арифметической) голоэдрией группы Г. Если Г - К. г. общего положения в том смысле, что ее нельзя аффинным преобразованием перевести в К. г., решетка параллельных переносов к-рой обладает меньшей симметрией, то [img: http://localhost:8080/file/031210-185.jpg] совпадает с группой симметрии решетки параллельных переносов группы Г. Две К. г. относятся к одной сингонии (соответственно типу Браве), если их геометрические (соответственно арифметические) голоэдрии совпадают. При n=3 имеется 7 сингонии и 14 типов Браве кристаллографич. групп. Линейные представления К. г. Неприводимые конечномерные комплексные линейные представления К. г. Г описываются следующим образом. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031210-186.jpg] - какой-либо характер (гомоморфизм в мультипликативную группу комплексных чисел) группы L, [img: http://localhost:8080/file/031210-187.jpg] и s - такое неприводимое представление группы [img: http://localhost:8080/file/031210-189.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031210-190.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031210-191.jpg] Тогда представление группы Г, индуцированное представлением s подгруппы [img: http://localhost:8080/file/031210-193.jpg] (см. Индуцированное представление), неприводимо. Всякое неприводимое представление группы Г получается описанным способом (см. [9], [10]).