Кристоффеля - шварца формула

-формула [img: http://localhost:8080/file/031211-6.jpg] дающая интегральное представление функции f(z), конформно отображающей верхнюю полуплоскость [img: http://localhost:8080/file/031211-7.jpg] на внутренность ограниченного многоугольника с вершинами [img: http://localhost:8080/file/031211-8.jpg] и углами [img: http://localhost:8080/file/031211-9.jpg] при вершинах [img: http://localhost:8080/file/031211-10.jpg] < [img: http://localhost:8080/file/031211-11.jpg]. При этом [img: http://localhost:8080/file/031211-12.jpg] - некоторые постоянные, [img: http://localhost:8080/file/031211-13.jpg] Постоянную z0 можно фиксировать произвольно в верхней полуплоскости. Тройку точек из [img: http://localhost:8080/file/031211-14.jpg] напр, [img: http://localhost:8080/file/031211-15.jpg] можно задавать произвольно; остальные п-3 точки ak, а также постоянные с, c1 определяются однозначно, если вершины [img: http://localhost:8080/file/031211-16.jpg] многоугольника заданы (см. [3]). Формула (*) была получена независимо Э. Кристоффелем (1867, см. [1]) и Г. Шварцем (1869, см. [2]). Интеграл в правой части (*) наз. интегралом Кристоффеля - Шварца. Основная трудность при применении формулы (*) состоит в нахождении неизвестных параметров. При n>4 общие методы неизвестны. Разработаны методы приближенного отыскания параметров К.- Ш. ф. (см. [4], [5]). К.- Ш. ф. остается справедливой и для многоугольников, у к-рых одна или несколько вершин лежат в бесконечно удаленной точке. В этом случае угол между сторонами многоугольника в бесконечности определяется как угол, взятый со знаком минус, между этими же сторонами или их продолжениями в конечной точке. Если прообраз а i одной из вершин многоугольника находится в бесконечно удаленной точке, то соответствующий множитель [img: http://localhost:8080/file/031211-17.jpg] в формуле (*) выпадает. К.- Ш. ф. справедлива также для функции, отображающей единичный круг [img: http://localhost:8080/file/031211-18.jpg] на рассмотренный выше многоугольник. В этом случае [img: http://localhost:8080/file/031211-19.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031211-20.jpg] Видоизменения этой формулы охватывают случаи отображения верхней полуплоскости, а также внутренности и внешности единичного круга на внешность многоугольника (см. [3]). К.- Ш. ф. обобщена на случай, когда функция f(z) конформно отображает круговое кольцо [img: http://localhost:8080/file/031211-21.jpg] или, в более общем случае, многосвязную область, состоящую из круга с выброшенными из него пкругами, на область соответствующей связности, ограниченную многоугольниками (см. [6], [7]).