Кронекера метод

- метод разложения многочлена с рациональными коэффициентами на неприводимые множители над полем рациональных чисел; предложен в 1882 Л. Кронекером [1], Пусть d - общий знаменатель всех коэффициентов многочлена [img: http://localhost:8080/file/031211-85.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/031211-86.jpg] - многочлен с целыми коэффициентами; причем из любого разложения [img: http://localhost:8080/file/031211-87.jpg] на неприводимые множители с рациональными коэффициентами можно получить разложение f(x).на неприводимые множители с целыми коэффициентами, множители к-рого отличаются от соответствующих множителей [img: http://localhost:8080/file/031211-88.jpg] лишь постоянными множителями, и обратно. Пусть f(x).имеет степень n>0 и k - наибольшее натуральное число, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/031211-89.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031211-90.jpg] X X [img: http://localhost:8080/file/031211-91.jpg] - разложение f(x).на множители с целыми коэффициентами, где степень g(x). не больше степени h(x), то степень g(x).не превосходит k. Давая хлюбые k+1 различных целых значений [img: http://localhost:8080/file/031211-92.jpg] получают равенства [img: http://localhost:8080/file/031211-93.jpg] где g(ci).и h(ci) - целые числа. Таким образом, g(ci).делит f(ci). Беря произвольные делители di чисел f(ci), получают [img: http://localhost:8080/file/031211-94.jpg] Из этих равенств многочлен g(x).находится по интерполяционной формуле Лагранжа или проще - из уравнений для коэффициентов. Найденный многочлен g(x).надо испытать, проверив, делит ли он f(x). Это построение многочлена и проверка проводятся для всевозможных наборов делителей чисел f(ci). Далее этот же процесс применяется к g(x).и h(x).и т. д., пока не приходят к неразложимым множителям. К. м. приводит к громоздким вычислениям. Для упрощения можно сначала понизить степень f(x), выделив его рациональные корни (см. [3] с. 355). Пример. [img: http://localhost:8080/file/031211-95.jpg] (это многочлен с целыми коэффициентами и без рациональных корней). Если [img: http://localhost:8080/file/031211-96.jpg] где степень kмногочлена g(x).не больше степени h(х), то [img: http://localhost:8080/file/031211-97.jpg] т. е. k=2. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031211-98.jpg] Тогда f(0)=1; f(1)= -5; f(2)=-21. Делители этих чисел: [img: http://localhost:8080/file/031211-99.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031211-100.jpg] Всего получается [img: http://localhost:8080/file/031211-101.jpg] комбинации. Две комбинации di, отличающиеся лишь знаком, дают два многочлена [img: http://localhost:8080/file/031211-102.jpg] Поэтому можно проверять лишь [img: http://localhost:8080/file/031211-103.jpg]. Остаются 32 случая. Перебирая все эти случаи, можно найти лишь один многочлен 2-й степени, делящий f(x). Это [img: http://localhost:8080/file/031211-104.jpg] Откуда [img: http://localhost:8080/file/031211-105.jpg] Оба сомножителя этого разложения неприводимы (как многочлены 2-й и 3-й степеней, не имеющие рациональных корней).