Круговой метод

- один из наиболее общих методов аддитивной теории чисел. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031212-80.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031212-81.jpg] - произвольные множества натуральных чисел, N - натуральное число и [img: http://localhost:8080/file/031212-82.jpg] - число решений уравнения [img: http://localhost:8080/file/031212-83.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031212-84.jpg] Изучением величин [img: http://localhost:8080/file/031212-85.jpg] занимается аддитивная теория чисел; напр., если доказать, что, [img: http://localhost:8080/file/031212-86.jpg] больше нуля при всех N, то это будет означать, что любое натуральное число является суммой kслагаемых чисел множеств [img: http://localhost:8080/file/031212-87.jpg] Пусть, далее, s - комплексное число, [img: http://localhost:8080/file/031212-88.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031212-89.jpg] является производящей функцией величин [img: http://localhost:8080/file/031212-90.jpg] По формуле Коши [img: http://localhost:8080/file/031212-91.jpg] Последний интеграл изучается при [img: http://localhost:8080/file/031212-92.jpg] Окружность интегрирования [img: http://localhost:8080/file/031212-93.jpg] разбивается на "большие" и "малые" дуги, центрами к-рых являются рациональные числа. Для целого ряда аддитивных задач удается достаточно полно исследовать интегралы по "большим" дугам, к-рые дают "главную" часть величины [img: http://localhost:8080/file/031212-94.jpg] и оценить интегралы по "малым" дугам, к-рые дают "остаточный" член асимптотич. формулы для [img: http://localhost:8080/file/031212-95.jpg] Введение И. М. Виноградовым в К. м. тригопомет-рич. сумм не только сильно упростило его применения, но и дало возможность единым способом решать широкий круг самых разных аддитивных задач. Основой К. м. в форме тригонометрич. сумм является следующая формула: [img: http://localhost:8080/file/031212-96.jpg] Из этой формулы следует, что [img: http://localhost:8080/file/031212-97.jpg] Конечные суммы [img: http://localhost:8080/file/031212-98.jpg] наз. тригонометрическими. Для исследования [img: http://localhost:8080/file/031212-99.jpg] отрезок интегрирования [0, 1] разбивается на "большие" и "малые" дуги - отрезки с центрами в рациональных точках с "малыми" и "большими" знаменателями. Для многих аддитивных задач удается с хорошей точностью вычислить интегралы по "большим" дугам (тригонометрич. суммы для а из "больших" дуг близки к рациональным тригонометрич. суммам с малым знаменателем, хорошо вычисляются и являются "большими"); на "малых" же дугах, к-рые содержат основную долю точек отрезка [0, 1], тригонометрич. суммы "малы"; их удается нетривиально оценить (см. Тригонометрических сумм метод, Виноградова метод), что позволяет получить асимптотич. формулу для [img: http://localhost:8080/file/031212-100.jpg] С помощью К. м. в форме тригонометрич. сумм и метода И. М. Виноградова оценок тригонометрич. сумм получены наиболее сильные результаты в аддитивной теории чисел (см. Варинга проблема, Гольдбаха проблема. Гольдбаха-Варинга проблема, Гильберта - Камке проблема).