Крулля - ремака - шмидта теорема

- группа утверждений, касающихся связи между прямыми разложениями группы или кольца. Теоретико-структурная форма этого результата известна как теорема Оре (см. Дедекиндова решетка). Для группы Gс произвольной системой операторов имеет место теорема Шмидта (Р. Ремак получил этот результат для конечных групп [2], а В. Крулль - для колец [1]): если такая группа обладает главным рядом, то любые два ее разложения в прямое произведение с неразложимыми сомножителями центрально изоморфны, т. е. между множествами сомножителей каждого из этих разложений может быть установлено взаимно однозначное соответствие и, если [img: http://localhost:8080/file/031212-109.jpg] - соответствующие друг другу сомножители, то существует такой изоморфизм j: [img: http://localhost:8080/file/031212-110.jpg] для всякого [img: http://localhost:8080/file/031212-111.jpg] лежит в центре группы G ([3], см. также [4]). А. Г. Курош установил, что можно ограничиться требованием существования главного ряда лишь у факторгрупп группы G, вложимых в ее центр. Теорема Шмидта, как теорема для групп с операторами, в частности, справедлива для модуля над любым кольцом. Однако модуль Мнеразложим, если его кольцо эндоморфизмов локально (см. Локальное кольцо), а при нек-рых ограничениях (напр., если М - модуль конечной длины) справедливо и обратное. В связи с этим К.- Р.- Ш. т. для модулей может быть сформулирована так: два разложения [img: http://localhost:8080/file/031212-112.jpg] где кольца эндоморфизмов модулей [img: http://localhost:8080/file/031212-113.jpg] локальны, изоморфны. При этом каждое слагаемое одного из разложений может быть заменено нек-рым слагаемым другого. В нек-рых случаях такую замену можно осуществить и для бесконечного множества слагаемых. К исследованию вопросов, связанных с К.- Р.- Ш. т., разработан теоретико-категорный подход, использующий рассмотрение категории подмодулей прямых сумм данных модулей.