Кручение

- 1) К. к р и в о й - величина, характеризующая отклонение пространственной кривой [img: http://localhost:8080/file/031212-160.jpg] от соприкасающейся плоскости. Пусть Р - произвольная точка кривой [img: http://localhost:8080/file/031212-161.jpg] и Q - точка кривой [img: http://localhost:8080/file/031212-162.jpg] близкая Р, [img: http://localhost:8080/file/031212-163.jpg] - угол между соприкасающимися плоскостями кривой [img: http://localhost:8080/file/031212-164.jpg] в точках Ри Q, а [img: http://localhost:8080/file/031212-165.jpg] - длина отрезка PQ кривой [img: http://localhost:8080/file/031212-166.jpg] Абсолютным кручением [img: http://localhost:8080/file/031212-167.jpg] кривой [img: http://localhost:8080/file/031212-168.jpg] в точке Рназ. величина [img: http://localhost:8080/file/031212-169.jpg] К. кривой определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/031212-170.jpg] и считается положительным (отрицательным), если вращение соприкасающейся плоскости при движении вдоль кривой в сторону возрастания s от вектора бинормали к вектору главной нормали происходит против часовой стрелки (по часовой стрелке) при наблюдении из точки Р. Регулярная (трижды непрерывно дифференцируемая) кривая в каждой точке, где ее кривизна отлична от нуля, имеет К. Если r=r(s) - естественная параметризация кривой, то [img: http://localhost:8080/file/031212-171.jpg] К. иногда наз. второй кривизной. Кривизна и К., заданные как функции длины дуги, определяют кривую с точностью до положения в пространстве. Кривая, у к-рой К. в каждой точке равно нулю,- плоская. Е. В. Шикин. 2) К. геодезическое - обобщение К. кривой, инвариант полосы в пространстве Е 3, определяемый формулой [img: http://localhost:8080/file/031212-172.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031212-173.jpg] - касательный вектор к базовой кривой Г полосы, [img: http://localhost:8080/file/031212-174.jpg] - нормальный вектор полосы. Обычное К. [img: http://localhost:8080/file/031212-175.jpg] кривой Г ненулевой кривизны выражается через а и нормальную и геодезич. кривизны bи спо формуле [img: http://localhost:8080/file/031212-176.jpg] Равенство нулю геодезич. К. характеризует полосы кривизны, в частности для полос, принадлежащих поверхности в [img: http://localhost:8080/file/031212-177.jpg] - кривизны линии. Аналогичные понятия вводятся для полос в римано-вом пространстве (см. [1], [2]). 3) К. подмногообразия - обобщение К. кривой, кривизна связности, индуцированной в нормальном расслоении [img: http://localhost:8080/file/031212-178.jpg] многообразия [img: http://localhost:8080/file/031212-179.jpg] погруженного в риманово пространство [img: http://localhost:8080/file/031212-180.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/031212-181.jpg] - формы связности в [img: http://localhost:8080/file/031212-182.jpg] - формы эйлеровых кривизн [img: http://localhost:8080/file/031212-183.jpg] Тогда формы [img: http://localhost:8080/file/031212-184.jpg] определяют риманово кручение, а формы [img: http://localhost:8080/file/031212-185.jpg] - гауссово кручение [img: http://localhost:8080/file/031212-186.jpg] Риманово К. и гауссово К. связаны соотношением [img: http://localhost:8080/file/031212-187.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031212-188.jpg] - компоненты тензора кривизны Vn в направлении бивектора, касательного к [img: http://localhost:8080/file/031212-189.jpg] - ортогональный кобазис касательного пространства к [img: http://localhost:8080/file/031212-190.jpg] Тензоры [img: http://localhost:8080/file/031212-191.jpg] получающиеся в разложении форм К. [img: http://localhost:8080/file/031212-192.jpg] по формам [img: http://localhost:8080/file/031212-193.jpg] нэз. тензорами гауссова и риманова кручения (см. [11,'[4]). П р и м е р. Пусть М 2 - поверхность в евклидовом пространстве Е 4. Тогда гауссово и риманово К. равны и сводятся к единственному числу [img: http://localhost:8080/file/031212-194.jpg] где Е, F, G - коэффициенты первой, а [img: http://localhost:8080/file/031212-195.jpg] - второй квадратичных форм М 2 в Е 4. Равенство [img: http://localhost:8080/file/031212-196.jpg] в нек-рой окрестности геометрически интерпретируется как вырождение эллипса кривизны в отрезок, тогда существует два семейства ортогональных линий кривизны, касательные к к-рым соответствуют концам этого отрезка. Условие [img: http://localhost:8080/file/031212-197.jpg] локально необходимо и достаточно для того, чтобы М 2 располагалась в римановом пространстве V3, погруженном в Е 4, и нормаль к М 2 в касательном пространстве к V3 была направлена по главному вектору Риччи тензора V3. В частности, нулевое К. необходимо для уплощения М 2 в E3. 4) К. аффинной связности Г - величина, выражающая отклонение от перестановочности ковариантных производных какой-либо функции на многообразии М" с этой связностью Г. Она определяется преобразованием [img: http://localhost:8080/file/031212-198.jpg] где X, Y - векторные поля на [img: http://localhost:8080/file/031212-199.jpg] - ковариант-ная производная Yвдоль X,[X, Y]- коммутатор Xи У. В локальных координатах [img: http://localhost:8080/file/031212-200.jpg] таких, что [img: http://localhost:8080/file/031212-201.jpg] преобразование Sимеет вид [img: http://localhost:8080/file/031212-202.jpg] тензор [img: http://localhost:8080/file/031212-203.jpg] - компоненты связности Г в выбранном базисе, наз. тензором кручения. Эквивалентным образом К. определяется ковариантным дифференциалом векторнозначной 1-формы [img: http://localhost:8080/file/031212-204.jpg] смещения данной связности [img: http://localhost:8080/file/031212-205.jpg] к-рый наз. формой кручения; здесь [img: http://localhost:8080/file/031212-206.jpg] - связности формы для Г. В локальном кобазисе [img: http://localhost:8080/file/031212-207.jpg] (дуальном базису [img: http://localhost:8080/file/031212-208.jpg]) форма [img: http://localhost:8080/file/031212-209.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031212-210.jpg] имеет те же значения, что и выше. Геометрич. смысл К. аффинной связности Г заключается в том, что развертка каждого бесконечномалого контура L, выходящего из точки [img: http://localhost:8080/file/031212-211.jpg] и возвращающегося в нее на касательное пространство к М n в х, уже не будет замкнутой кривой. Векторная разность между концами развертки с точностью до малых 2-го порядка имеет компоненты [img: http://localhost:8080/file/031213-1.jpg] Другими словами, этот вектор пропорционален ограниченной контуром Lдвумерной площадке с бивектором [img: http://localhost:8080/file/031213-2.jpg] Эти представления лежат в основе интерпретации упругой среды с непрерывным распределением источников внутренних напряжений в виде дислокаций, вектор [img: http://localhost:8080/file/031213-3.jpg] тогда оказывается аналогом так наз. вектора Бюргерса (см. [4]-[7]). Пример. В двумерном римановом пространстве [img: http://localhost:8080/file/031213-4.jpg] с метрической связностью тензор К. сводится к вектору: [img: http://localhost:8080/file/031213-5.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/031213-6.jpg] - метрич. бивектор. Пусть в ЛЯ дан малый треугольник, образованный отрезками геодезических длины а, b, с, суглами А, В, С. Тогда главная часть проекции вектора [img: http://localhost:8080/file/031213-7.jpg] в точке Ана сторону АВ равна отношению величины [img: http://localhost:8080/file/031213-8.jpg] к площади треугольника а, а на перпендикуляр к АВ - величине [img: http://localhost:8080/file/031213-9.jpg], деленной на 0. Таким образом, в М 2 нулевого К. имеют место теоремы косинусов и синусов обыкновенной тригонометрии с точностью до величин, малых в сравнении с о. 5) К. пространства А - элемент [img: http://localhost:8080/file/031213-10.jpg] Уайтхеда группыWh A, определяемый парой (X, А), где А- конечное клеточное пространство, и вложение [img: http://localhost:8080/file/031213-11.jpg] является гомотопич. эквивалентностью. Эквивалентно, К.- элемент группы Уайтхеда [img: http://localhost:8080/file/031213-12.jpg] фундаментальной группы [img: http://localhost:8080/file/031213-13.jpg]. К. инвариантно при клеточных расширениях и стягиваниях и при клеточных измельчениях. Доказана топологич. инвариантность К. Если Аодносвязно, то его К. равно нулю. Если (W; M0, M1) - произвольный h-кобордизм, то [img: http://localhost:8080/file/031213-14.jpg] где K - клеточное пространство, ассоциированное с данным разложением на ручки многообразия W(от многообразия М 0), это - кручение h-кобордизма. Пусть М f - цилиндр клеточного отображения f: [img: http://localhost:8080/file/031213-15.jpg] являющегося гомотопич. эквивалентностью. Тогда [img: http://localhost:8080/file/031213-16.jpg] не всегда равно нулю. Оно определяет по формуле [img: http://localhost:8080/file/031213-17.jpg] элемент [img: http://localhost:8080/file/031213-18.jpg] наз. кручением отображения f(иногда К. наз. сам [img: http://localhost:8080/file/031213-19.jpg]). Если [img: http://localhost:8080/file/031213-20.jpg] то наз. простой гомотопической эквивалентностью (см. [8]). 6) К. конечно порожденной абелевой группы G - группа Т, состоящая из всех элементов конечного порядка v группы G. Числа v>l могут быть однозначно с точностью до перестановки выбраны в виде степеней простых чисел, и тогда они наз. коэффициентами кручения группы G (см. [9]).