Кубическая гиперповерхность

проективное алгебраич. многообразие, задаваемое однородным уравнением [img: http://localhost:8080/file/031213-210.jpg] 3-й степени с коэффициентами из нек-рого основного поля k. Кубические кривые. Неприводимая кубич. кривая является либо гладкой (в этом случае ее канонич. класс равен 0, а род 1), либо имеет одну особую двойную точку (в этом случае она рациональна). Кубич. кривые - кривые наименьшей степени, для к-рых существуют модули. Каждая гладкая кубич. кривая Xнад алгебраически замкнутым полем k, характеристика к-рого отлична от 2 и 3, бирациональными преобразованиями может быть приведена к вейерштрассовой форме, в неоднородных координатах плоскости (х, у).имеющей вид [img: http://localhost:8080/file/031213-211.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031213-212.jpg] Две кубич. кривые с коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/031214-1.jpg] в вейерштрассовой форме изоморфны тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031214-2.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/031214-3.jpg] принимает любые значения из kи зависит только от кривой X, она наз. абсолютным инвариантом кубич. кривой X. На множестве точек X(k).кубич. кривой определен бинарный закон композиции [img: http://localhost:8080/file/031214-4.jpg] где x1*х 2 - третья точка пересечения кривой X с прямой, проходящей через точки [img: http://localhost:8080/file/031214-5.jpg] Если фиксировать нек-рую точку [img: http://localhost:8080/file/031214-6.jpg] то композиция [img: http://localhost:8080/file/031214-7.jpg] превращает множество X(k).в абелеву группу с нулем х 0. Кубич. кривая, снабженная этой структурой, является одномерным абелевым многообразием (эллиптич. кривой). В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031214-8.jpg] - поле комплексных чисел, Х(С) есть риманова поверхность рода 1, т. е. одномерный комплексный тор - факторгруппа [img: http://localhost:8080/file/031214-9.jpg] где Г(Х) - двумерная решетка периодов. Поле kрациональных функций кривой Xв этом случае изоморфно полю эллиптич. функций на С с решеткой периодов Г(Х). Коэффициенты g2 и g3 интерпретируются как модулярные формы весов 4 и 6 соответственно, совпадающие с точностью до постоянного множителя с формами, определяемыми рядами Эйзенштейна наименьших весов. Функция jв этом случае есть не что иное, как модулярный инвариант. Для кубич. кривых над алгебраически незамкнутым полем kтакже развита содержательная арифметич. теория (см. [2]). Существенную часть ее достижений составляют теорема Морделла - Вейля, теория комплексного умножения и когомологическая теория главных однородных пространств. Основные нерешенные (1982) проблемы этой теории: проблема ограниченности ранга над полем алгебраич. чисел, гипотеза конечности для группы главных однородных локально тривиальных пространств, гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера о дзета-функции, гипотеза Вейля об униформизации и др. Кубические поверхности. Над алгебраически замкнутым полем kкаждая неприводимая кубич. поверхность (если она не вырождается в конус) является рациональной поверхностью. Класс гиперплоского сечения hповерхности Fсовпадает с каноническим классом (- К F}. Любая гладкая кубич. поверхность получается из проективной плоскости Р 2 раздутием (т. е. моноидальным преобразованием) 6 точек, никакие 3 из к-рых не лежат на одной прямой, а все 6 не лежат на одной конике. Соответствующее бирациональное отображение [img: http://localhost:8080/file/031214-10.jpg] задается линейной системой кубич. кривых, проходящих через эти 6 точек. На Fлежат 27 прямых, каждая из к-рых является исключительной (см. Исключительное подмногообразие). Ими исчерпываются все исключительные кривые на F. Конфигурация 27 прямых богата симметриями: группа автоморфизмов соответствующего графа изоморфна группе Вейля Е 6. Кубич. поверхности принадлежат к серии поверхностей дель Пеццо - проективных поверхностей с обильным обратным канонич. классом. Над алгебраически незамкнутым полем kимеются гладкие кубич. поверхности F, для к-рых не существует (бирационального изоморфизма с Р 2 над k(т. е. F не рационален над k). Среди них есть поверхности, обладающие k-точками, в этом случае они унирациональны над k. Такие кубич. поверхности являются контрпримером для Люрота проблемы, о поверхностях над незамкнутыми полями. Над нек-рыми k существуют минимальные кубич. поверхности. Критерий минимальности Сегре [6]: [img: http://localhost:8080/file/031214-11.jpg] Вычислена группа бирациональных автоморфизмов минимальной кубич. поверхности (найдены ее образующие и определяющие соотношения) и развита арифметич. теория кубич. поверхностей [4]. Для описания множества точек F(k).привлечены неассоциативные структуры: квазигруппы и лупы Муфанг. Кубические гиперповерхности размерности 3. Все гладкие К. г. размерности [img: http://localhost:8080/file/031214-12.jpg] над алгебраически замкнутым полем унирациональны. В 80-е гг. 19 в. был поставлен вопрос: будет ли гладкая трехмерная К. г. рациональна? На него получен отрицательный ответ [3]. Тем самым дано и отрицательное решение проблемы Люрота для трехмерных многообразий. С каждой гладкой К. г. Vразмерности 3 связано главное поляризованное пятимерное абе. [img: http://localhost:8080/file/031214-14.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031214-15.jpg] - соответствующая компонента Ходжа в разложении пространства когомологий [img: http://localhost:8080/file/031214-16.jpg] Для доказательства нерациональности Vбыло показано, что J3(V).не является якобианом никакой кривой рода 5. Нерациональность К. г. над полем конечной характеристики установлена в [5]. К. г. Vоднозначно определяется своей Фано поверхностью Ф(V). Для Ф(V) справедлива Торелли теорема (и тем самым теорема Торелли справедлива и для V). Нерешенной проблемой о К. г. размерности 3 является проблема описания ее группы бирациональных автоморфизмов. Неизвестно (1982), будет ли каждая гладкая К. г. размерности [img: http://localhost:8080/file/031214-17.jpg] рациональна. Рациональность установлена в этом случае для нек-рых К. г. специального вида; напр.: [img: http://localhost:8080/file/031214-18.jpg]