Куммера расширение

расширение поля kхарактеристики [img: http://localhost:8080/file/031214-183.jpg] вида [img: http://localhost:8080/file/031214-184.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031214-185.jpg] п - некоторое натуральное число, причем предполагается, что поле kсодержит первообразный корень [img: http://localhost:8080/file/031214-186.jpg] из 1 степени п(в частности, пвзаимно просто с рпри [img: http://localhost:8080/file/031214-187.jpg]). К. р. названы по имени Э. Куммера (Е. Kummer), впервые подробно рассмотревшего расширения вида [img: http://localhost:8080/file/031214-188.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031214-189.jpg] - поле рациональных чисел и [img: http://localhost:8080/file/031214-190.jpg] Основной результат теории К. р. состоит в том, что для поля k, содержащего первообразный корень [img: http://localhost:8080/file/031214-191.jpg] конечное расширение K/k является куммеровым (для данного n) тогда и только тогда, когда K/k - нормальное абелево расширение и группа Галуа [img: http://localhost:8080/file/031214-192.jpg] имеет период п. Любое К. р. поля kполностью характеризуется своей группой Куммера [img: http://localhost:8080/file/031214-193.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031214-194.jpg] - мультипликативная группа поля k,a [img: http://localhost:8080/file/031214-195.jpg] Существует невырожденное спаривание Куммера, т. е. отображение [img: http://localhost:8080/file/031214-196.jpg] где m(n) - подгруппа группы k*, порожденная [img: http://localhost:8080/file/031214-198.jpg] Для [img: http://localhost:8080/file/031214-199.jpg] это спаривание задается формулой [img: http://localhost:8080/file/031214-200.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031214-201.jpg] - некоторый представитель элемента а. Это спаривание определяет канонический изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031214-202.jpg] Другими словами, всякий автоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031214-203.jpg] определяется своим действием на корни [img: http://localhost:8080/file/031214-204.jpg] в (1), и это действие может быть произвольным, если только корни [img: http://localhost:8080/file/031214-205.jpg] независимы. В частности, если G(K/k).- циклич. группа, то [img: http://localhost:8080/file/031214-206.jpg] Пусть k - нормальное расширение поля k0 и [img: http://localhost:8080/file/031214-207.jpg] Поле Ктогда и только тогда нормально над k0, когда A(K/k).переходит в себя под действием G(K/k0)- В этом случае изоморфизм (2) является G (K/k0)-операторным, т. е. если [img: http://localhost:8080/file/031214-208.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031214-209.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031214-210.jpg] (Группа G(k/k0).действует на G(K/k).с помощью сопряжения в G(K/k0).).Это обстоятельство позволяет сводить многие вопросы об абелевых расширениях периода пполя kк теории К. р. даже в том случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031214-211.jpg] А именно, если K/k - такое расширение, то расширение [img: http://localhost:8080/file/031214-212.jpg] является куммеровым, причем его группа Куммера характеризуется условием: для [img: http://localhost:8080/file/031214-213.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031214-214.jpg] будет [img: http://localhost:8080/file/031214-215.jpg] где i - натуральное число, определенное по модулю пусловием [img: http://localhost:8080/file/031214-216.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031214-217.jpg] Основные результаты о К. р. могут быть получены как следствие Гильберта теоремы о циклич. расширениях, утверждающей тривиальность одномерной группы Галуа когомологий [img: http://localhost:8080/file/031214-218.jpg] Теория К. р. переносится на случай бесконечных абелевых расширений периода п. При этом спаривание Куммера устанавливает двойственность Понтрягина между проконечной группой G(K/k).(наделенной топологией Крулля) и дискретной группой A(K/k)(:м. [1] гл. 8, § 8; [2] гл. 3, § 2). Теория К. р., называемая также теорией Куммера, имеет аналог для случая расширений вида (1), но с п=р (так наз. теорияАртина - Шрейера). Роль группы m(n) в этом случае играет аддитивная группа простого подполя F р поля k. Основное утверждение этой теории: любое абелево расширение Кпериода рполя kимеет вид [img: http://localhost:8080/file/031214-220.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031214-221.jpg] - корни уравнений вида xP-x=a. (см. [1] гл. 8, § 8). Существует также принадлежащее Э. Витту (Е. Witt) обобщение этой теории для случая n=ps, где s>l, использующее Витта векторы. Имеется, наконец, попытка построения неабелевой "теории Куммера" [3], где роль мультипликативной группы поля играет группа матриц GL(n, К).