Кэли форма

- форма от (n+1)(N+1).переменных, где n=dim X, а X - замкнутое алгебраическое подмногообразие N-мерного проективного пространства [img: http://localhost:8080/file/031215-128.jpg] однозначно с точностью до умножения на константу определяемая по Xи сама однозначно определяющая X. Точное определение К. ф. состоит в следующем. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031215-129.jpg] есть N-мерное проективное пространство всех гиперплоскостей в [img: http://localhost:8080/file/031215-130.jpg] Г - подмножество в многообразии [img: http://localhost:8080/file/031215-131.jpg] состоящее из всех таких наборов [img: http://localhost:8080/file/031215-132.jpg] что точка [img: http://localhost:8080/file/031215-133.jpg] лежит в пересечении гиперплоскостей [img: http://localhost:8080/file/031215-134.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031215-135.jpg] - естественная проекция. Тогда j(Г)есть неприводимое подмногообразие коразмерности 1 в [img: http://localhost:8080/file/031215-137.jpg] и потому j(Г) является многообразием нулей нек-рой формы FX на [img: http://localhost:8080/file/031215-139.jpg] Всегда можно считать, что FX не имеет кратных: множителей, и это условие определяет FX по X однозначно с точностью до умножения на константу. Наоборот, FX однозначно определяет множество всевозможных наборов n+1 гиперплоскостей в [img: http://localhost:8080/file/031215-140.jpg] пересекающихся по точкам из X, и потому FX однозначно определяет X. Форма FX и наз. формой Кэли многообразия X. Часто К. ф. наз. также ф о р м о й Ч ж о у, или ассоциированной формой многообразия X. Идея определения Xкомплексом линейных подпространств размерности N-п-1 в [img: http://localhost:8080/file/031215-141.jpg] пересекающих X, восходит к А. Кэли [5], к-рый применил ее для случая n=1, N=3. Коэффициенты К. ф. наз. координатами Чжоу многообразия X. К. ф. FX однородна по каждой из n+1 систем координат пространства [img: http://localhost:8080/file/031215-142.jpg] (1-я система координат - это система координат i-ro сомножителя указанного пространства). Степени однородности FX по каждой из систем координат совпадают. Эта общая степень dобозначается через deg X, наз. степенью подмногообразия X, и имеет следующий геометрич. смысл: dесть максимум числа точек пересечения Xсовсевозможными (N-n)-мерными линейными пространствами Lв [img: http://localhost:8080/file/031215-143.jpg] для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031215-144.jpg] - конечное множество (т. е. d - это число точек пересечения Xс "общим" (N-n)-мериым линейным подпространством). Множество всех форм (рассматриваемых с точностью до умножения на ненулевую константу) от n+1 групп переменных по N+1 переменных, имеющих степень dпо каждой группе, образует проективное пространство [img: http://localhost:8080/file/031215-145.jpg] нек-рой размерности [img: http://localhost:8080/file/031215-146.jpg] К. ф. FX можно отождествить с точкой [img: http://localhost:8080/file/031215-147.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/031215-148.jpg] всех точек в [img: http://localhost:8080/file/031215-149.jpg] являющихся К. ф. n-мерныхзамкнутых подмногообразий степени dв [img: http://localhost:8080/file/031215-150.jpg] есть квазипроективное многообразие; оно параметризует семейство всех таких подмногообразий, причем указанное семейство является алгебраическим относительно этой параметризации. В общем случае [img: http://localhost:8080/file/031215-151.jpg] не замкнуто в [img: http://localhost:8080/file/031215-152.jpg] Конструкция К. ф. естественно распространяется на замкнутые n-мерные циклы в [img: http://localhost:8080/file/031215-153.jpg] т. е. формальные линейные комбинации [img: http://localhost:8080/file/031215-154.jpg] замкнутых n-мерных подмногообразий [img: http://localhost:8080/file/031215-155.jpg] с целыми коэффициентами mi> 0. А именно, полагают [img: http://localhost:8080/file/031215-156.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031215-157.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/031215-158.jpg] всех К. ф. n-мерных циклов степени dв [img: http://localhost:8080/file/031215-159.jpg] замкнуто в [img: http://localhost:8080/file/031215-160.jpg] Изучение К. ф. и свойств многообразий [img: http://localhost:8080/file/031215-161.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031215-162.jpg] является важным моментом в проблеме классификации подмногообразий и циклов в [img: http://localhost:8080/file/031215-163.jpg] Первый шаг в этой классификации состоит в изучении разбиения [img: http://localhost:8080/file/031215-164.jpg] на неприводимые компоненты. Напр., для N=3, п=1, d=2 (кривые степени 2 в трехмерном пространстве) многообразие [img: http://localhost:8080/file/031215-165.jpg] состоит из двух неприводимых компонент размерности 8. Первая компонента соответствует плоским кривым второго порядка, а вторая - парам прямых. Бирациональная классификация многообразий [img: http://localhost:8080/file/031215-166.jpg] является важной проблемой (во всех известных примерах такие многообразия рациональны).