Кэмпбелла - хаусдорфа формула

формула для вычисления выражения [img: http://localhost:8080/file/031216-31.jpg] в алгебре формальных степенных рядов от некоммутирующих ассоциативных ии v. Более точно, пусть А - свободная ассоциативная алгебра с единицей над полем Q со свободными образующими ии v,a L - ее подалгебра Ли, порожденная этими же элементами относительно операции коммутирования [img: http://localhost:8080/file/031216-32.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/031216-33.jpg] - пополнения алгебр Аи Lстепенными рядами элементов из А и L. Тогда отображение [img: http://localhost:8080/file/031216-34.jpg] является непрерывной биекцией алгебры [img: http://localhost:8080/file/031216-35.jpg] на мультипликативную группу [img: http://localhost:8080/file/031216-36.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031216-37.jpg] - совокупность рядов без свободного члена. Обратным к этому отображению является отображение [img: http://localhost:8080/file/031216-38.jpg] Ограничение отображения ехр на [img: http://localhost:8080/file/031216-39.jpg] является биекцией алгебры [img: http://localhost:8080/file/031216-40.jpg] на группу [img: http://localhost:8080/file/031216-41.jpg] Это позволяет ввести групповую операцию [img: http://localhost:8080/file/031216-42.jpg] на множестве элементов алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/031216-43.jpg] причем в получаемой таким образом группе подгруппа, порожденная элементами uи v, оказывается свободной. К.- X. ф. дает выражение для uov в виде степенного ряда от u и v: [img: http://localhost:8080/file/031216-44.jpg] или (в терминах присоединенного представления (ad x)(y)=[x, у]). [img: http://localhost:8080/file/031216-45.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/031216-46.jpg] означает суммирование по [img: http://localhost:8080/file/031216-47.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031216-48.jpg] суммирование по [img: http://localhost:8080/file/031216-49.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031216-50.jpg] Первым задачу о разыскании выражения wрассмотрел Дж. Кэмпбелл [1]. Ф. Хаусдорф [2] доказав, что wвыражается через коммутаторы от элементов uи v, т. е. принадлежит алгебре Ли [img: http://localhost:8080/file/031216-51.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031216-52.jpg] - нормированная алгебра Ли над полным недискретно нормированным полем К, то ряд (*), где и, [img: http://localhost:8080/file/031216-53.jpg]. сходится в окрестности нуля. Это позволяет определить в окрестности нуля пространства [img: http://localhost:8080/file/031216-54.jpg] структуру локальной банаховой группы Ли над К(в ультраметрическом случае - структуру банаховой группы Ли), алгеброй Ли к-рой является [img: http://localhost:8080/file/031216-55.jpg] Этот факт дает одно из доказательств существования локальной группы Ли с заданной алгеброй Ли (3-я теорема Ли). Обратно, во всякой локальной группе Ли умножение в канонических координатах задается К.- X. ф.