Кюннета формула

- формула, выражающая гомологии (или когомологии) тензорного произведения комплексов или прямого произведения пространств через гомологии (когомологии) сомножителей. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031216-56.jpg] - ассоциативное кольцо с единицей, Аи С - цепные комплексы соответственно правых и левых [img: http://localhost:8080/file/031216-57.jpg] -модулей. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031216-58.jpg] - комплекс, ассоциированный с тензорным произведением комплексов Аи Снад [img: http://localhost:8080/file/031216-59.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031216-60.jpg] то имеет место точная последовательность градуированных модулей [img: http://localhost:8080/file/031216-61.jpg] где а - гомоморфизм степени 0, a b - степени -1 (см. [2]). Для конечных комплексов имеется аналогичная точная последовательность с гомоморфизмом b степени +1. Если [img: http://localhost:8080/file/031216-64.jpg] (напр., Аили С - плоский [img: http://localhost:8080/file/031216-65.jpg] -модуль) и [img: http://localhost:8080/file/031216-66.jpg] наследственно, то последовательность (1) существует и расщепляется [2], [3], так что [img: http://localhost:8080/file/031216-67.jpg] Эта формула наз. формулой Кюннета; иногда формулой, или соотношением, Кюннета называют и точную последовательность (1). Имеет место обобщение формулы (1), в к-ром тензорное произведение заменяется произвольным двойным функтором Т(А, С).на категории [img: http://localhost:8080/file/031216-68.jpg] -модулей со значениями в той же категории, ковариантным по каждому аргументу. Рассматривается также случай функтора Т, ковариант-ного по Аи контравариантного по С. В частности, функтор [img: http://localhost:8080/file/031216-69.jpg] приводит к формуле, выражающей когомологии Н*(Нот(А, С)), где А - правый цепной, а С - левый коцепной комплексы над [img: http://localhost:8080/file/031216-70.jpg] через [img: http://localhost:8080/file/031216-71.jpg] а именно, если [img: http://localhost:8080/file/031216-72.jpg] наследственно и [img: http://localhost:8080/file/031216-73.jpg] (напр., Асвободен), то имеет место расщепляемая точная последовательность [img: http://localhost:8080/file/031216-74.jpg] где b' - гомоморфизм степени 0, а b' - степени +1 (см. [2], [3]). Пусть X, Y - топологич. Пространства, a L, М - модули над кольцом главных идеалов R, причем Tor1(L, M) = 0. Тогда сингулярные гомологии пространств [img: http://localhost:8080/file/031216-77.jpg] связаны следующей расщепляемой точной последовательностью [img: http://localhost:8080/file/031216-78.jpg] где a - гомоморфизм степени 0, а b - степени -1. Если предположить дополнительно, что либо все [img: http://localhost:8080/file/031216-81.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031216-82.jpg] либо все [img: http://localhost:8080/file/031216-83.jpg] и М конечно порождены, то аналогичная точная последовательность имеется для сингулярных когомологий: [img: http://localhost:8080/file/031216-84.jpg] причем a - гомоморфизм степени 0, а b - степени + 1. Например., если R - поле, то [img: http://localhost:8080/file/031216-87.jpg] а если при этом все [img: http://localhost:8080/file/031216-88.jpg] или все [img: http://localhost:8080/file/031216-89.jpg] конечномерны, то [img: http://localhost:8080/file/031216-90.jpg] Имеются также аналогичные формулы для относительных гомологии и когомологий [3], [4]. В случае L=M=R модуль [img: http://localhost:8080/file/031216-91.jpg] обладает структурой косого тензорного произведения алгебр, при этом a - гомоморфизм алгебр. Таким образом, если [img: http://localhost:8080/file/031216-93.jpg] и все [img: http://localhost:8080/file/031216-94.jpg] или все [img: http://localhost:8080/file/031216-95.jpg] конечно порождены, то имеет место изоморфизм алгебр [3]: [img: http://localhost:8080/file/031216-96.jpg] В случае, когда Xи Y - конечные полиэдры, К. ф. позволяет найти числа Бетти и коэффициенты кручения полиэдра [img: http://localhost:8080/file/031216-97.jpg] через аналогичные инварианты полиэдров Xи Y. Именно эти результаты были получены самим Г. Кюннетом [1]. В частности, если [img: http://localhost:8080/file/031216-98.jpg] есть k-e число Бетти полиэдра Xи [img: http://localhost:8080/file/031216-99.jpg] - многочлен Пуанкаре полиэдра X, то [img: http://localhost:8080/file/031216-100.jpg] В теории когомологий со значениями в пучке имеется следующий вариант К. ф. [6]. Пусть Xи Y - топологич. пространства со счетными базами, [img: http://localhost:8080/file/031216-101.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031216-102.jpg] - пучки Фреше на Xи Y(см. Когерентный аналитический пучок), И пусть. [img: http://localhost:8080/file/031216-103.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/031216-104.jpg]) - ядерный п у ч о к (т. е. [img: http://localhost:8080/file/031216-105.jpg] - ядерное пространство для всех открытых [img: http://localhost:8080/file/031216-106.jpg]). Тогда на [img: http://localhost:8080/file/031216-107.jpg] определен пучок Фреше [img: http://localhost:8080/file/031216-108.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031216-109.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031216-110.jpg] - знак пополненного тензорного произведения, а [img: http://localhost:8080/file/031216-111.jpg] открыты. Если пространства. [img: http://localhost:8080/file/031216-112.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031216-113.jpg] отделимы, то справедлива К. ф. [img: http://localhost:8080/file/031216-114.jpg] В частности, когерентные аналитич. учки [img: http://localhost:8080/file/031216-115.jpg] на комплексных аналитич. ространствах X, Y со счетными базами являются ядерными и [img: http://localhost:8080/file/031216-116.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031216-117.jpg] - аналитические обратные образы пучков [img: http://localhost:8080/file/031216-118.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031216-119.jpg] при проекциях [img: http://localhost:8080/file/031216-120.jpg] Таким образом, если [img: http://localhost:8080/file/031216-121.jpg] отделимы, то [img: http://localhost:8080/file/031216-122.jpg] В алгебраической геометрии К. ф. обычно встречаются в таком варианте. Пусть Xи Y - алгебраические многообразия над полем k, а [img: http://localhost:8080/file/031216-123.jpg] - когерентные алгебраич. пучки на Xи Yсоответственно. Тогда [9]: [img: http://localhost:8080/file/031216-124.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/031216-125.jpg] - пучок на [img: http://localhost:8080/file/031216-126.jpg] модули сечений которого над [img: http://localhost:8080/file/031216-127.jpg] (U - открытое аффинное подмножество в X, V - в У) суть [img: http://localhost:8080/file/031216-128.jpg] Более общо, пусть [img: http://localhost:8080/file/031216-129.jpg] - морфиз-мы в категории схем, [img: http://localhost:8080/file/031216-130.jpg] - их расслоенное произведение, [img: http://localhost:8080/file/031216-131.jpg] - квазикогерентные пучки модулей на Xи Y. Обобщая конструкцию пучка [img: http://localhost:8080/file/031216-132.jpg] _ можно ввести пучки модулей [img: http://localhost:8080/file/031216-133.jpg] модули сечения которых для аффинных S, X и Y изоморфны [img: http://localhost:8080/file/031216-134.jpg] Тогда существуют [7] две спектральные последовательности (Е r).и ('Е r).с начальными членами [img: http://localhost:8080/file/031216-135.jpg] имеющие один и тот же предел. Эта громоздкая формулировка К. ф. приобретает более привычный вид в терминах производных функторов [11]: [img: http://localhost:8080/file/031216-136.jpg] Если пучок [img: http://localhost:8080/file/031216-137.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/031216-138.jpg] является плоским над S, то спектральная последовательность (Е r).вырождается. Аналогично, ('Е r).вырождается, если все [img: http://localhost:8080/file/031216-139.jpg] (или все [img: http://localhost:8080/file/031216-140.jpg]) плоские над S. Если обе спектральные последовательности (Е r).и (' Е r).вырождаются, то К. ф. приобретает вид [img: http://localhost:8080/file/031216-141.jpg] К. ф. имеется и для этальных пучков A-модулей на схемах Xи У, где А - конечное кольцо. Ее можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/031216-142.jpg] где ! означает, что когомологий берутся с компактными носителями. В частности (см. [8]), для полных алгебраич. многообразий Xи Y К. ф. для l-адических когомологий имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031216-143.jpg] Для произвольных многообразий такая формула доказана лишь в предположении о возможности разрешения особенностей, напр., для многообразий надполем нулевой характеристики. Вариант К. ф. имеется и в K-теории. Пусть X- такое пространство, что группа К*(X).конечно порождена, и пусть Y - клеточное пространство. Тогда имеет место точная последовательность Z2 -градуированных модулей [img: http://localhost:8080/file/031216-144.jpg] где a - гомоморфизм степени 0, a b - степени 1 (см. [5]). Частным случаем этого утверждения является Ботта теорема периодичности для комплексных расслоений. Известна также К. ф. в теории бордизмов [10].