Лагранжа уравнения

механики - обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка, описывающие движения механич. систем под действием приложенных к ним сил. Л. у. установлены Ж. Лаг-ранжем [1] в двух формах: Л. у. 1-го рода, или уравнения в декартовых координатах с неопределенными множителями Лагранжа, и 2-го рода, или уравнения в обобщенных лагранжевых координатах. Л. у. 1-го рода описывают движения как голономных систем, стесненных только геометрич. связями вида [img: http://localhost:8080/file/031301-125.jpg] так и неголономных систем, на к-рые наложены, помимо связей (1), кинематич. связи вида [img: http://localhost:8080/file/031301-126.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031301-127.jpg] - декартовы координаты и скорости точек, N - число точек системы, t - время, [img: http://localhost:8080/file/031301-128.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031301-129.jpg] - масса р- йточки, имеющей координаты. Связи [img: http://localhost:8080/file/031301-130.jpg] (1) и (2) предполагаются независимыми, т. е. ранги матриц [img: http://localhost:8080/file/031301-131.jpg] равны соответственно kи т. Л. у. 1-го рода имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031301-132.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031301-133.jpg] - неопределенные множители Лагранжа, пропорциональные реакциям связей, [img: http://localhost:8080/file/031301-134.jpg] - проекции на оси координат заданных активных сил, причем сила Fp действующая на р- юточку, имеет проекции [img: http://localhost:8080/file/031301-135.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031301-136.jpg] К дифференциальным уравнениям (3) надлежит присоединить k+m уравнений (1) и (2), в результате чего получается система 3N+k+т уравнений с таким же числом неизвестных [img: http://localhost:8080/file/031301-137.jpg] Л. у. 1-го рода на практике обычно применяются для систем с небольшим числом неизвестных. Л. у. 2-го рода описывают движения лишь голономных систем, стесненных связями вида (1). Введением в рассмотрение n=3N-k независимых обобщенных лагранжевых координат qi, с помощью к-рых любое возможное положение системы может быть получено при нек-рых значениях qi из равенств [img: http://localhost:8080/file/031301-138.jpg] обращающих уравнения (1) в тождества, устанавливается для каждого tвзаимно однозначное соответствие между возможными положениями системы и точками нек-рой области n-мерного конфигурационного пространства (q1,.., qn). В случае стационарных связей (1) всегда возможно выбрать переменные д;так, что время tне будет входить в уравнения (4). Далее записываются с помощью уравнений (4) выражения для суммы элементарных работ всех активных сил Fp на возможных перемещениях системы [img: http://localhost:8080/file/031301-139.jpg] и кинетич. энергии системы [img: http://localhost:8080/file/031301-140.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/031301-141.jpg] - обобщенная сила, соответствующая координате [img: http://localhost:8080/file/031301-142.jpg] - однородные степени s формы обобщенных скоростей qi, причем [img: http://localhost:8080/file/031301-143.jpg] В случае стационарных связей Т= Т 2. Л. у. 2-го рода имеют вид [img: http://localhost:8080/file/031301-144.jpg] Уравнения (5) представляют собой систему га обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с неизвестными qi. Они инвариантны по форме относительно выбора лагранжевых координат. Эта система уравнений движения имеет наименьший возможный порядок 2n. В этом, а также в отсутствии в уравнениях (5) реакций связей, состоит большое преимущество уравнений (5) по сравнению с Л. у. 1-го рода (3). После интегрирования системы (5) реакции связей могут быть определены из уравнений, выражающих второй закон Ньютона для точек системы. В случае потенциальных обобщенных сил, когда существует силовая функция [img: http://localhost:8080/file/031301-145.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/031301-146.jpg] уравнения (5) принимают вид [img: http://localhost:8080/file/031301-147.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031301-148.jpg] носит название функции Лагранжа, или кинетич. потенциала. Если [img: http://localhost:8080/file/031301-149.jpg] или - [img: http://localhost:8080/file/031301-150.jpg] то уравнения (6) допускают обобщенный интеграл энергии [img: http://localhost:8080/file/031301-151.jpg] или циклический интеграл [img: http://localhost:8080/file/031301-152.jpg] соответствующий циклической координате q а.