Лакуна

- 1) Л. в теории функций - см. А дамара теорема о лакунах, Лакунарный степенной ряд. 2) Л. в геометрии - см. Движений группа, Лакунарное. пространство. 3) Л. в теории дифференциальных уравнений с частными производными - одна из областей D, на к-рые разбивается внутренность характеристич. конуса линейной гиперболич. системы [img: http://localhost:8080/file/031302-17.jpg] с вершиной в точке (х 0, t0).плоскостью t=t1, обладающая следующим свойством: малые достаточно гладкие изменения начальных данных внутри Dне влияют на значение решения uв точке (х 0, t0). В (1) предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/031302-18.jpg] - линейный дифференциальный оператор порядка nj и порядок дифференцирований в нем по tне превосходит nj=1. Под "изменением внутри" понимается изменение в нек-рой области, входящей в Dвместе со своей границей. Для волнового уравнения [img: http://localhost:8080/file/031302-19.jpg] решение uзадачи Коши [img: http://localhost:8080/file/031302-20.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/031302-21.jpg] вполне определяется значениями функций [img: http://localhost:8080/file/031302-22.jpg] на сфере [img: http://localhost:8080/file/031302-23.jpg] при нечетном n>1 и на шаре [img: http://localhost:8080/file/031302-24.jpg] при четном n и n=1, поэтому область [img: http://localhost:8080/file/031302-25.jpg] на плоскости t=0 является Л. для уравнения (2) при нечетном n>1. Для четного пи n=1 уравнение (2) Л. не имеет. Это согласуется с Гюйгенса принципом для решений волнового уравнения. Возмущение начальных данных (3) в малой окрестности точки х 0 приводит к сферич. волне с центром в этой точке, к-рая при нечетном n>1 имеет передний и задний фронты. При остальных значениях пзадний фронт этой волны "размыт", это явление наз. диффузией волн. Диффузия волн типична для всех линейных гиперболич. уравнений 2-го порядка, если число ппространственных переменных четно (см. [1]). Аналогичный вопрос для n=3 изучался в [2], где был описан класс гиперболич. уравнений 2-го порядка, для к-рых диффузия волн отсутствует. Уравнения этого класса тесно связаны с волновым уравнением. Для общих гиперболич. систем (1) найдена связь "в малом" между существованием Л. для системы (1) и аналогичным вопросом для соответствующей системы с постоянными коэффициентами (см. [3]). Для последних систем получены необходимые и достаточные условия алгебраич. характера, обеспечивающие наличие Л.