Лакунарный тригонометрический ряд

ряд вида [img: http://localhost:8080/file/031302-54.jpg] Рядом типа (1) К. Вейерштрасс (К. Weierstrass) в 1872 представил непрерывную нигде не дифференцируемую функцию. Ж. Адамар (J. Hadamard) в 1892 применил ряды (1), назвав их лакунарными, к изучению аналитич. родолжения функции. Систематич. изучение Л. т. р. началось с работы П. Фату (P. Fatou, 1906), в к-рой доказано, что из сходимости всюду Л. т. р. при l>3 следует [img: http://localhost:8080/file/031302-56.jpg] Л. т. р. обладают свойствами, существенно отличающими их от общих тригонометрич. рядов. Напр., А. Н. Колмогоров, построив первый пример (1923) суммируемой функции с расходящимся почти всюду рядом Фурье, в 1924 доказал сходимость почти всюду лакунарного ряда Фурье; А. Зигмунд (A. Zygmund, 1948) доказал, что если суммы двух Л. т. р. совпадают на множестве положительной меры, то эти ряды тождественны. Для многих приложений Л. т. р. важна обнаруженная Зигмундом в 30-е гг. 20 в. зависимость свойств ряда (1) от его коэффициентов. Так, если [img: http://localhost:8080/file/031302-57.jpg] то ряд (1) есть ряд Фурье функции f(x), принадлежащей всем пространствам [img: http://localhost:8080/file/031302-58.jpg] и, следовательно, сходится почти всюду. При этом существуют постоянные [img: http://localhost:8080/file/031302-59.jpg] зависящие только от ри l такие, что [img: http://localhost:8080/file/031302-61.jpg] Если условие (3) не выполнено, то ряд (1) расходится почти всюду и, более того, почти всюду не суммируется никаким методом Теплица (следовательно, не является рядом Фурье). Если ряд (1) сходится в каждой точке нек-рого интервала (Т* - ограничен в каждой точке нек-рого интервала), то выполнено условие (2). Если коэффициенты ряда (1) есть [img: http://localhost:8080/file/031302-62.jpg] то его сумма есть непрерывная гладкая функция, дифференцируемая в тех и только в тех точках, в к-рых сходится формально продифференцированный ряд (1).