Ламберта ряд

- функциональный ряд [img: http://localhost:8080/file/031302-74.jpg] Рассмотрен И. Ламбертом (см. [1]) в связи с вопросами сходимости степенных рядов. Если сходится ряд [img: http://localhost:8080/file/031302-75.jpg] то Л. р. сходится при всех значениях х, кроме х= + 1; в противном случае он сходится для тех значений х, для к-рых сходится ряд [img: http://localhost:8080/file/031302-76.jpg] Л. р. применяется в нек-рых задачах теории чисел. Так, при |x|<1 сумма j(x) ряда (1) представляется в виде степенного ряда: [img: http://localhost:8080/file/031302-79.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031302-80.jpg] а суммирование распространяется на делители kчисла п. В частности, если [img: http://localhost:8080/file/031302-81.jpg] - число делителей и, если [img: http://localhost:8080/file/031302-82.jpg] - сумма делителей п. Поведение j(x). (с надлежащими а п).при [img: http://localhost:8080/file/031302-84.jpg] используется, напр. (см. [3]), в задаче Харди и Рамануджана для получения асимптотич. формулы для количества "неограниченных разбиений" натурального числа.