Ландау теоремы

- теоремы для регулярных в круге функций, устанавливающие нек-рые связи между геометрич. свойствами производимого этими функциями конформного отображения и начальными коэффициентами представляющих их степенных рядов. В 1904 Э. Ландау показал [1], что если функция f(z) регулярна в круге |z|<R и не принимает в нем значений 0 и 1, то Д ограничено сверху положительной постоянной, зависящей только от [img: http://localhost:8080/file/031303-7.jpg] В 1905 К. Каратеодори (С. Caratheodory) установил, что роль экстремальной функции в этой теореме играет модулярная функция. Эти результаты Э. Ландау и К. Каратеодори известны в виде следующей теоремы. Теорема Ландау - Каратеодори. Если функция [img: http://localhost:8080/file/031303-8.jpg] регулярна и не принимает значений 0 и 1 в круге |z|<Rто [img: http://localhost:8080/file/031303-10.jpg] здесь t=t(l) - какая-либо ветвь функции, обратной к классич. модулярной функции [img: http://localhost:8080/file/031303-12.jpg] группы M2 дробно-линейных преобразований [img: http://localhost:8080/file/031303-13.jpg] где a, d - нечетные, а b, с - четные числа. Функция l(t) отображает фундаментальную область Т 2 группы М 2: [img: http://localhost:8080/file/031303-15.jpg] (Т 2 получается присоединением к Int T2 той части границы этой области, для к-рой [img: http://localhost:8080/file/031303-16.jpg]), на всю расширенную l - плоскость таким образом, что [img: http://localhost:8080/file/031303-18.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031303-19.jpg] При этом для каждого значения l уравнение [img: http://localhost:8080/file/031303-21.jpg] имеет одно и только одно решение t, принадлежащее Т 2. Под функцией t(l) в теореме Ландау - Каратеодори можно понимать ту ветвь указанной обратной функции, к-рая отображает расширенную l-плоскость на Т 2. Пример функции [img: http://localhost:8080/file/031303-25.jpg] регулярной в круге |z|<1 и не обращающейся в нуль и 1 при |z|<1 показывает, что теорема Ландау - Каратеодори неулучшаема. Из теоремы Ландау - Каратеодори вытекает Пикара теорема о значениях, не принимаемых целыми функциями. Э. Ландау нашел точное значение постоянной W(M), фигурирующей в следующей формулировке теоремы Коши об обратных функциях. Пусть функция w=f(z).регулярна в круге [img: http://localhost:8080/file/031303-29.jpg] в круге [img: http://localhost:8080/file/031303-30.jpg] тогда существует такая постоянная W(M), что обратная функция z=j(w), обращающаяся в нуль при w=0, регулярна в круге |w|<W(M) и j(w)<1 в этом круге. Э. Ландау установил, что [img: http://localhost:8080/file/031303-35.jpg] Экстремальной функцией этой оценки является [img: http://localhost:8080/file/031303-36.jpg] Та же функция fM(z) является экстремальной в следующей Л. т. Если функция f(z) удовлетворяет указанным выше условиям, то f(z) однолистна в круге|z|<r(M), где [img: http://localhost:8080/file/031303-39.jpg] Э. Ландау принадлежит ряд теорем покрытия в теории конформного отображения, устанавливающих существование и оценки соответствующих постоянных. Ниже приведена одна из них. Пусть H - класс функций f(z), регулярных в круге [img: http://localhost:8080/file/031303-40.jpg] и нормированных условиями [img: http://localhost:8080/file/031303-41.jpg] Из теоремы Блоха (см. Блоха константа).вытекает следующая Л. т.: существует абсолютная постоянная [img: http://localhost:8080/file/031303-42.jpg] где Lf - радиус наибольшего круга w-плоскости, целиком накрываемого образом круга |z|<1 при отображении w=f(z); П - константа Блоха. Постоянная Lназ. постоянной Ландау. Для Lизвестны оценки (см. [5], [8]): [img: http://localhost:8080/file/031303-44.jpg] Из сформулированной Л. т. вновь следует теорема Пикара.