Лапласа теорема

- 1) Л. т. об определителях - см. ст. Алгебраическое дополнение. 2) Л. т. об аппроксимации биномиального распределения нормальным распределением; первый вариант центральной предельной теоремы теории вероятностей: если Sn - число "успехов" в п Бернулли испытаниях с вероятностью успеха р,0<р<1, то при [img: http://localhost:8080/file/031304-15.jpg] для любых действительных чисел xi и х 2 (х 1<.г 2) [img: http://localhost:8080/file/031304-16.jpg] - функция распределения стандартного нормального закона. Самостоятельное значение имеет т. н. локальная Л. т.: для вероятности [img: http://localhost:8080/file/031304-17.jpg] справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/031304-18.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031304-19.jpg] - плотность стандартного нормального распределения и [img: http://localhost:8080/file/031304-20.jpg] равномерно для всех т, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031304-21.jpg] принадлежит какому-либо конечному интервалу. В общем виде Л. т. была доказана П. Лапласом [1]. Один частный случай Л. т. (р=1/2) был изучен А. Му-авром [2], в связи с чем Л. т. иногда наз. теоремой Муавра - Лапласа. Для практич. применения Л. т. важно иметь представление об ошибках, возникающих при использовании приближенных формул. В более точной (по сравнению с [1]) асимптотич. формуле [img: http://localhost:8080/file/031304-22.jpg] остаточный член Rn(y). имеет порядок [img: http://localhost:8080/file/031304-23.jpg] равномерно для всех действительных у. Из равномерных аппроксимаций биномиального распределения посредством нормального распределения наиболее удачна формула Я. Успенского (1937): если [img: http://localhost:8080/file/031304-24.jpg] то для любых (/! и у 2 [img: http://localhost:8080/file/031304-25.jpg] Для улучшения относительной точности аппроксимации С. Н. Бернштейном (1943) и В. Феллером (W. Feller, 1945) были предложены другие формулы.