Лебега интеграл

- одно из наиболее важных обобщений понятия интеграла. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031304-139.jpg] - пространство с неотрицательной полной счетноаддитивной мерой [img: http://localhost:8080/file/031304-140.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031304-141.jpg] Простой ф у. н к ц и е й наз. измеримая функция [img: http://localhost:8080/file/031304-142.jpg] принимающая не более счетного множества значений: [img: http://localhost:8080/file/031304-143.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031304-144.jpg] Простая функция gназ. суммируемой, если ряд [img: http://localhost:8080/file/031304-145.jpg] сходится абсолютно; сумма этого ряда есть интеграл Лебега: [img: http://localhost:8080/file/031304-146.jpg] Функция [img: http://localhost:8080/file/031304-147.jpg] суммируема на [img: http://localhost:8080/file/031304-148.jpg] если существует равномерно сходящаяся на множестве полной меры к f последовательность простых суммируемых функций gn и предел [img: http://localhost:8080/file/031304-149.jpg] конечен. Число I есть интеграл Лебега: [img: http://localhost:8080/file/031304-150.jpg] Определение корректно: предел I существует и не зависит от выбора последовательности gn. Если [img: http://localhost:8080/file/031304-151.jpg] то I - измеримая почти всюду конечная функция на X. Л. и. есть линейный неотрицательный функционал на [img: http://localhost:8080/file/031304-152.jpg] обладающий следующими свойствами: [img: http://localhost:8080/file/031304-153.jpg] В случае, когда [img: http://localhost:8080/file/031304-154.jpg] интеграл Лебега [img: http://localhost:8080/file/031304-155.jpg] определяется как [img: http://localhost:8080/file/031304-156.jpg] при условии, что этот предел существует и конечен для любой последовательности Е п такой, что [img: http://localhost:8080/file/031304-157.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031304-158.jpg] В этом случае свойства 1), 2), 3) сохраняются, а свойство 4) нарушается. О переходе к пределу под знаком Л. и. см. Лебега теорема. Если Аесть измеримое множество X, то Л. и. [img: http://localhost:8080/file/031304-159.jpg] определяется или, как указано выше, заменой Xна А, или как [img: http://localhost:8080/file/031304-160.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031305-1.jpg] - характеристич. функция А;эти определения эквивалентны. Если [img: http://localhost:8080/file/031305-2.jpg] для любого измеримого [img: http://localhost:8080/file/031305-3.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031305-4.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031305-5.jpg] измеримо для каждого п, для [img: http://localhost:8080/file/031305-6.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031305-7.jpg] Обратно, если при тех же условиях на А n для каждого [img: http://localhost:8080/file/031305-8.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031305-9.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031305-10.jpg] и верно предыдущее равенство ([img: http://localhost:8080/file/031305-11.jpg] -аддитивность Л. и.). Функция множества [img: http://localhost:8080/file/031305-12.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031305-13.jpg] абсолютно непрерывна относительно [img: http://localhost:8080/file/031305-14.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/031305-15.jpg] то F(А).есть неотрицательная абсолютно непрерывная относительно [img: http://localhost:8080/file/031305-16.jpg] мера. Обратное утверждение представляет Радона - Никодима теорему. Для функций [img: http://localhost:8080/file/031305-17.jpg] название "интеграл Лебега" применяется к соответствующему функционалу, если мера [img: http://localhost:8080/file/031305-18.jpg] есть Лебега мера;при этом множество суммируемых функций обозначается просто L(Х).и интеграл [img: http://localhost:8080/file/031305-19.jpg] Для других мер этот функционал наз. Лебега-Стилтьеса интегралом. Если [img: http://localhost:8080/file/031305-20.jpg] - неубывающая абсолютно непрерывная функция, то [img: http://localhost:8080/file/031305-21.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031305-22.jpg] -мо- нотонна на [img: http://localhost:8080/file/031305-23.jpg] и существует точка [img: http://localhost:8080/file/031305-24.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/031305-25.jpg] (вторая теорема о среднем). А. Лебег дал в 1902 (см. [1]) определение интеграла для [img: http://localhost:8080/file/031305-26.jpg] и меры [img: http://localhost:8080/file/031305-27.jpg] являющейся мерой Лебега. Он строил простые функции, равномерно приближающие почти всюду на множестве конечной меры Еизмеримую неотрицательную функцию [img: http://localhost:8080/file/031305-28.jpg] и доказал существование общего предела (конечного или бесконечного) интегралов этих простых функций при стремлении их к f. Л. и. является базой для различных обобщений понятия интеграла. Как отметил Н. Н. Лузин [2], свойство 2) - т. н. абсолютная интегрируемость, выделяет Л. к. для [img: http://localhost:8080/file/031305-29.jpg] из всевозможных обобщенных интегралов.