Лебега размерность

- размерность, определенная посредством покрытий; важнейший размерностный инвариантdim Xтопологич. пространства X, открытый А. Лебегом [1]. Он высказал гипотезу, что dim In=n для re-мерного куба In. Л. Брауэр [2] впервые доказал это, а также более сильное тождество: dim In=IndIn= п. Точное определение инварианта dim X(для класса метрич. компактов) дал П. С. Урысон, доказавший для пространств Xэтого класса тождество [img: http://localhost:8080/file/031305-130.jpg] (тождество Урысон а, см. Размерности теория), распространенное на класс всех сепарабельных метрич. пространств в 1925 В. Гуревичем (W. Hurewicz) и Л. А. Тумаркиным. Для компактов XЛ. р. определяется как наименьшее целое число п, обладающее тем свойством, что при любом [img: http://localhost:8080/file/031305-131.jpg] существует конечное открытое [img: http://localhost:8080/file/031305-132.jpg] -покрытие компакта X, имеющее кратность [img: http://localhost:8080/file/031305-133.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/031305-134.jpg] -покрытием метрич. пространства наз. покрытие, все элементы к-рого имеют диаметр [img: http://localhost:8080/file/031305-135.jpg] а кратностью конечного покрытия пространства Xназ. наибольшее такое целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в kэлементах данного покрытия. Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства XЛ. р. наз. наименьшее целое число n такое, что ко всякому конечному открытому покрытию w пространства Xсуществует вписанное в него (конечное открытое) покрытие a кратности n+1. При этом покрытие a наз. вписанным в покрытие w, если каждый элемент покрытия a. является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия w.