Лебега теорема

- 1) Л. т. в т е о р и и размерности: n-мерный куб для любого [img: http://localhost:8080/file/031305-136.jpg] обладает конечным замкнутым [img: http://localhost:8080/file/031305-137.jpg] -покрытием кратности [img: http://localhost:8080/file/031305-138.jpg] и в то же время существует такое [img: http://localhost:8080/file/031305-139.jpg] что любое конечное замкнутое [img: http://localhost:8080/file/031305-140.jpg] -покрытие n-мерного куба имеет кратность [img: http://localhost:8080/file/031305-141.jpg] Это утверждение привело в дальнейшем к определению основного размерност-ного инварианта - Лебега размерностиdim Xнормального топологич. пространства X. Б. А. Пасынков. 2) Л. т. о предельном переходе под знаком интеграла; пусть на множестве Езадана последовательность измеримых функций fn(x), к-рая сходится почти всюду (или по мере) на E к функции f(x);если на Есуществует такая суммируемая функция Ф(х), что при всех пи х [img: http://localhost:8080/file/031305-142.jpg] то fn (х).и f(х).суммируемы на Еи [img: http://localhost:8080/file/031305-143.jpg] Впервые доказана А. Лебегом [1]. Важный частный случай Ф(x)=const и Е с конечной мерой, также называемый Л. т., был им получен раньше [2]. Иногда Л. т. называют теорему, впервые доказанную Б. Леви [3]: пусть на множестве Езадана неубывающая последовательность измеримых неотрицательных функций [img: http://localhost:8080/file/031305-144.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031305-145.jpg] почти всюду, тогда [img: http://localhost:8080/file/031305-146.jpg]