Лебеговский спектр

- термин спектральной теории. Пусть А - самосопряженный, a U - унитарный операторы, действующие в гильбертовом пространстве Н. Оператор А, соответственно U, имеет простой спектр Лебега, если он унитарно эквивалентен оператору умножения на [img: http://localhost:8080/file/031305-166.jpg] в пространстве комплекснозначных функций [img: http://localhost:8080/file/031305-167.jpg] к-рые определены на действительной оси [img: http://localhost:8080/file/031305-168.jpg] соответственно на окружности [img: http://localhost:8080/file/031305-169.jpg] и для которых [img: http://localhost:8080/file/031305-170.jpg] где интегрирование ведется по обычной Лебега мере на [img: http://localhost:8080/file/031305-171.jpg] соответственно на S1, откуда и назв. Л. с. (см. Унитарно эквивалентные операторы). Для Uэто определение эквивалентно следующему: в Нсуществует такой ортонормированный базис [img: http://localhost:8080/file/031305-172.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/031305-173.jpg] Далее, оператор имеет спектр Лебега, если Нможно разложить в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, в каждом из к-рых оператор имеет простой Л. с. Хотя для данного оператора может быть много таких разложений, число "слагаемых" для кал дого из них одно и то же (оно может быть и бесконечным кардинальным числом). Это число наз. кратностью Л. с. Наконец, аналогичные понятия можно ввести для однопараметрич. группы унитарных операторов U(t), непрерывной в слабой (или, что в данном случае то же, сильной) операторной топологии. По теореме Стоуна [img: http://localhost:8080/file/031305-174.jpg] где А - нек-рый самосопряженный оператор. Если Аимеет Л. с, нек-рой кратности, то говорят, что теми же свойствами обладает и U(t). Напр., группа U(t).имеет простой Л. с., если она унитарно эквивалентна группе [img: http://localhost:8080/file/031305-175.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/031305-176.jpg] а та в свою очередь эквивалентна группе сдвигов [img: http://localhost:8080/file/031305-177.jpg] в том же пространстве [img: http://localhost:8080/file/031305-178.jpg] Д. В. Аносов.