Леви - прохорова метрика

метрика в пространстве [img: http://localhost:8080/file/031306-60.jpg] конечных борелевских мер на метрич. пространстве (U, d), определяемая равенством: [img: http://localhost:8080/file/031306-61.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031306-62.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/031306-63.jpg] -алгебра борелевских множеств из (U, d).и [img: http://localhost:8080/file/031306-64.jpg] Л.- П. м. введена Ю. В. Прохоровым [1] как обобщение Леви метрики. Величина [img: http://localhost:8080/file/031306-65.jpg] не изменится, если в ее определении оставить одно из двух неравенств и заменить [img: http://localhost:8080/file/031306-66.jpg] системой всех открытых или всех замкнутых множеств из [img: http://localhost:8080/file/031306-67.jpg] (см. [2]). Важнейшие свойства Л. - П. м. 1) Метрич. пространство [img: http://localhost:8080/file/031306-68.jpg] сепарабельно тогда и только тогда, когда сепарабельно (U, d). 2) Пространство (U, d).полно, если полно пространство [img: http://localhost:8080/file/031306-69.jpg] Обратное верно, если меры из [img: http://localhost:8080/file/031306-70.jpg] имеют сепарабельные носители. 3) В пространстве [img: http://localhost:8080/file/031306-71.jpg] Л.- П. м обладает свойствами, аналогичными свойствам метрики Леви. Именно, свойством регулярности 3) и его следствиями, свойствами 4), 5), свойством 6) (в случае [img: http://localhost:8080/file/031306-72.jpg]), частично свойством 7) (именно, [img: http://localhost:8080/file/031306-73.jpg]), а также аналогом свойства 8), если (U, d).является линейным нормированным пространством: если [img: http://localhost:8080/file/031306-74.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031306-75.jpg] то для любых [img: http://localhost:8080/file/031306-76.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031306-77.jpg] 4) В случае U-Rk Л.- П. м. в [img: http://localhost:8080/file/031306-78.jpg] оценивается с помощью характеристич. функций f, g, соответствующих мерам Р, Q (см. [3], [4]). 5) Л.- П. м. является минимальной метрикой по отношению к расстоянию по вероятности [img: http://localhost:8080/file/031306-79.jpg] (см. [5]).