Лежандра условие

- необходимое условие для решения простейшей задачи вариационного исчисления, предложенное А. Лежандром (A. Legendre, 1786): для того чтобы кривая у 0 (х). доставляла минимум функционалу [img: http://localhost:8080/file/031307-7.jpg] необходимо, чтобы во всех точках кривой у(х).вторая производная от подинтегральной функции по у' была неотрицательна [img: http://localhost:8080/file/031307-8.jpg] Если уесть га-мерный вектор с координатами y1,..., у n, то Л. у. требует неотрицательности квадратичной формы [img: http://localhost:8080/file/031307-9.jpg] Для случая максимума функционала знак неравенства в Л. у. меняется на противоположный. Для вариационных задач на условный экстремум аналогом Л. у. является Клебша условие. Л. у., так же как и Эйлера уравнение, является необходимым условием слабого экстремума. При нарушении Л. у. вторая вариация функционала не сохраняет свой знак и кривая у(х).не доставляет экстремум функционалу. Если в Л. у. знак нестрогого неравенства заменен на знак строгого неравенства, то такое условие наз. усиленным условием Лежандра. Усиленное Л. у. в отличие от Л. у. не является необходимым. Усиленное Л. у. участвует в формулировке достаточных условий экстремума. Экстремаль, на к-рой выполняется усиленное Л. у., наз. неособой (неособенной) экстремалью. Такая экстремаль дважды непрерывно дифференцируема, и уравнение Эйлера для нее можно представить в виде обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка, разрешенного относительно старшей производной. Если на неособой экстремали выполняется усиленное Якоби условие, то можно построить поле экстремалей, окружающее данную экстремаль, что является первым шагом при исследовании достаточных условий экстремума.