Лефшеца теорема

- 1) Л. т. о неподвижных точках, Лефшеца - Хопфа теорема,- теорема, позволяющая выразить число неподвижных точек непрерывного отображения через его Лефшеца число. Так, если непрерывное отображение f: [img: http://localhost:8080/file/031307-82.jpg] конечного клеточного пространства Xне имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца L(f) равно нулю. Частным случаем последнего утверждения является Брауэра теорема о неподвижной точке. Ю. Б. Рудяк. 2) Л. т. о г и п е р п л о с к о м сечении, слабая Л. т.: пусть X - алгебраич. подмногообразие комплексной размерности пв комплексном проективном пространстве [img: http://localhost:8080/file/031307-83.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/031307-84.jpg] - гиперплоскость, проходящая через все особые точки многообразия X(если они есть), а [img: http://localhost:8080/file/031307-85.jpg] - гиперплоское сечение многообразия X;тогда относительные группы гомологии [img: http://localhost:8080/file/031307-86.jpg] равны нулю при i<n. Отсюда вытекает, что естественный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031307-87.jpg] является изоморфизмом для i<n-1 и сюръективен для i=n-1 (см. [1]). По формулам универсальных коэффициентов отсюда получаются соответствующие утверждения для групп целочисленных когомологии. Во всяком случае для когомологий с коэффициентами в поле рациональных чисел имеют место двойственные утверждения: гомоморфизм пространств когомологии [img: http://localhost:8080/file/031307-88.jpg] индуцированный вложением [img: http://localhost:8080/file/031307-89.jpg] является изоморфизмом для i<n-1 и инъективен для i=n-1 (см. [6]). Аналогичное утверждение справедливо для гомото-пич. групп: [img: http://localhost:8080/file/031307-90.jpg] при i<n. В частности, кано-нич. гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/031307-91.jpg] (X).является изоморфизмом при [img: http://localhost:8080/file/031307-92.jpg] и сюръективен при n=2 (теорема Лефшеца о фундаментальной группе). Существует обобщение этой теоремы на случай произвольного алгебраически замкнутого поля (см. [7]), а также на случай, когда У - нормальное полное пересечение в X(см. [8]). 3) Сильная Л. т.- теорема о существовании разложения Лефшеца когомологий комплексного кэлерова многообразия на примитивные составляющие. Пусть V - компактное кэлерово многообразие размерности пс кэлеровой формой о) и пусть [img: http://localhost:8080/file/031307-93.jpg] - класс когомологий типа (1, 1), соответствующий форме со при изоморфизме де Рама (если V - проективное алгебраич. многообразие над [img: http://localhost:8080/file/031307-94.jpg] с естественной метрикой Ходжа, то [img: http://localhost:8080/file/031307-95.jpg] -класс когомологий, двойственный классу гомологии гиперплоского сечения) и [img: http://localhost:8080/file/031307-96.jpg] - линейный оператор, определяемый умножением на [img: http://localhost:8080/file/031307-97.jpg] т. [img: http://localhost:8080/file/031307-98.jpg] Имеет место изоморфизм (см. [1]) [img: http://localhost:8080/file/031307-99.jpg] для любого k=0, 1,..., п. Ядро оператора [img: http://localhost:8080/file/031307-100.jpg] обозначается [img: http://localhost:8080/file/031307-101.jpg] и наз. примитивной частью (n-k)-когомологий многообразия V. Элементы из [img: http://localhost:8080/file/031307-102.jpg] наз. прилитивными когомологиями, а соответствующие им циклы - примитивными циклами. Сильная Л. т. устанавливает следующее разложение когомологий в прямую сумму примитивных (наз. разложением Лефшеца): [img: http://localhost:8080/file/031307-103.jpg] для всех m=0, 1, 2,..., 2n. Отображения [img: http://localhost:8080/file/031307-104.jpg] являются вложениями. Разложение Лефшеца коммутирует с разложением Ходжа [img: http://localhost:8080/file/031307-105.jpg] (см. [13]). В частности, определена примитивная часть [img: http://localhost:8080/file/031307-106.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031307-107.jpg] Сильная Л. т. и разложение Лефшеца имеют аналоги в абстрактной алгебраич. геометрии для l-адических и кристальных когомологий (см. [4], [14]). 4) Л. т. о к о г о м о л о г и я х типа (1,1) - теорема о соответствии между двумерными алгебраич. классами когомологий комплексного проективного алгебраич. многообразия и классами когомологий типа (1, 1). Пусть V - неособое проективное алгебраич. многообразие над полем [img: http://localhost:8080/file/031307-108.jpg] Элемент [img: http://localhost:8080/file/031307-109.jpg] наз. а л г е б р а и ч е с к и м, если двойственный ему (в смысле Пуанкаре) класс гомологии определяется нек-рым дивизором. Л. т. о когомологиях типа (1,1) утверждает, что класс [img: http://localhost:8080/file/031307-110.jpg] алгебраичен тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/031307-111.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031307-112.jpg] - компонента Ходжа типа (1, 1) двумерных комплексных когомологий [img: http://localhost:8080/file/031307-113.jpg] а отображение [img: http://localhost:8080/file/031307-114.jpg] индуцировано естественным вложением [img: http://localhost:8080/file/031307-115.jpg] (см. [1], а также [6], [12]). По поводу алгебраич. классов когомологий в размерностях, больших 2, см. Ходжа гипотеза. Для произвольного комплексного аналитич. многообразия Vсуществует аналогичная характеризация элементов группы [img: http://localhost:8080/file/031307-116.jpg] являющихся классами Чжэня расслоений на комплексные прямые над V(см. [11]).