Лефшеца число

- инвариант отображения цепного (коцепного) комплекса или топологич. пространства в себя. Пусть X - цепной комплекс абелевых групп (соответственно топологич. пространство), f: [img: http://localhost:8080/file/031307-160.jpg] - эндоморфизм степени 0 (соответственно непрерывное отображение), [img: http://localhost:8080/file/031307-161.jpg] - гомологии группы, объекта Xс коэффициентами в поле рациональных чисел [img: http://localhost:8080/file/031307-162.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031307-163.jpg] и пусть ti - след линейного преобразования [img: http://localhost:8080/file/031307-164.jpg] По определению, число Лефшеца отображения f есть [img: http://localhost:8080/file/031307-165.jpg] В случае коцепного комплекса определение аналогично. В частности, Л. ч. тождественного отображения е X равно эйлеровой характеристике [img: http://localhost:8080/file/031307-166.jpg] объекта X. Если X - цепной (коцепной) комплекс свободных абелевых групп или топологич. пространство, то число [img: http://localhost:8080/file/031307-167.jpg] всегда целое. Л. ч. было введено С. Лефшецем [1] для решения задачи о числе неподвижных точек непрерывного отображения (см. Лефшеца формула). Для нахождения Л. ч. эндоморфизма f комплекса X, состоящего из конечномерных векторных пространств Xнад [img: http://localhost:8080/file/031307-168.jpg] можно воспользоваться следующей формулой (к-рая иногда наз. формулой следа X о п ф а) [img: http://localhost:8080/file/031307-169.jpg] где Т,- - след линейного преобразования [img: http://localhost:8080/file/031307-170.jpg] В частности, если X - конечное клеточное пространство, [img: http://localhost:8080/file/031307-171.jpg] - его непрерывное отображение в себя и [img: http://localhost:8080/file/031307-172.jpg] - нек-рая клеточная аппроксимация отображения ф, то [img: http://localhost:8080/file/031307-173.jpg] где Т i - след преобразования [img: http://localhost:8080/file/031307-174.jpg] индуцированного отображением [img: http://localhost:8080/file/031307-175.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/031307-176.jpg] - группа рациональных i -мерных цепей клеточного пространства X. Все сказанное выше допускает обобщение на случай произвольного поля коэффициентов.