Линделёфа принцип

- основной качественный вариационный принцип в теории конформного отображения, найденный Э. Линделёфом [1]. Пусть односвязные области Dи [img: http://localhost:8080/file/031312-134.jpg] на плоскости комплексного переменного z таковы, что их границы Г и [img: http://localhost:8080/file/031312-135.jpg] соответственно состоят из конечного числа жордановых дуг, причем [img: http://localhost:8080/file/031312-136.jpg] содержится в D, и пусть точка [img: http://localhost:8080/file/031312-137.jpg] Пусть, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/031312-138.jpg] - функции, реализующие конформное отображение соответственно Dи [img: http://localhost:8080/file/031312-139.jpg] на единичный круг [img: http://localhost:8080/file/031312-140.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031312-141.jpg] Принцип Л и н д е л ё ф а состоит в том, что при этих условиях: 1) прообраз [img: http://localhost:8080/file/031312-142.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/031312-143.jpg] Х при отображении w=f(z).лежит внутри прообраза [img: http://localhost:8080/file/031312-144.jpg] этой же области [img: http://localhost:8080/file/031312-145.jpg] при отображении w=f(z). причем соприкосновение их границ [img: http://localhost:8080/file/031312-146.jpg] возможно лишь, если [img: http://localhost:8080/file/031312-147.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031312-148.jpg], причем знак равенства возможен лишь, если [img: http://localhost:8080/file/031312-149.jpg] 3) если существует общая точка z1 контуров [img: http://localhost:8080/file/031312-150.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031312-151.jpg] причем знак равенства возможен лишь, если [img: http://localhost:8080/file/031312-152.jpg] Иными словами, при вдавливании внутрь границы Г области D:1) все линии уровня [img: http://localhost:8080/file/031312-153.jpg] т. е. прообразы окружностей [img: http://localhost:8080/file/031312-154.jpg] сжимаются; 2) растяжение в точке z0 увеличивается; 3) растяжение в неподвижных точках z1 границы уменьшается. Из приведенной формулировки Л. п. вытекает также, что длина образа дуги [img: http://localhost:8080/file/031312-155.jpg] границы Г, подвергшейся вдавливанию до дуги [img: http://localhost:8080/file/031312-156.jpg] всегда не превосходит длины образа [img: http://localhost:8080/file/031312-157.jpg] (длина [img: http://localhost:8080/file/031312-158.jpg]), причем равенство имеет место только в случае [img: http://localhost:8080/file/031312-159.jpg] Это следствие Л. п. известно также как принцип М о н т е л я. В более общей ситуации, когда [img: http://localhost:8080/file/031312-160.jpg] - конечносвязные области, ограниченные конечным числом жордановых кривых и расположенные соответственно в плоскостях zи w, w=f(z) - мероморфная функция в [img: http://localhost:8080/file/031312-161.jpg] значения к-рой лежат в D, Л. п. состоит в следующем. Если w0 - точка образа [img: http://localhost:8080/file/031312-162.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/031312-163.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031312-164.jpg] - множество точек [img: http://localhost:8080/file/031312-165.jpg] для к-рых [img: http://localhost:8080/file/031312-166.jpg] mv - кратность нуля zv функции f(z)-w0; [img: http://localhost:8080/file/031312-167.jpg] - Грина функция области Dс полюсом zv, a g(w, w0) - функция Грина области Dс полюсом w0, то имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/031312-168.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/031312-169.jpg] При этом если в (1) имеет место равенство хотя бы в одной точке [img: http://localhost:8080/file/031312-170.jpg] то оно выполняется всюду в [img: http://localhost:8080/file/031312-171.jpg] В частности, неравенство [img: http://localhost:8080/file/031312-172.jpg] вытекающее из (1), и было получено Э. Линделёфом в [1]. Оно означает, что образ области [img: http://localhost:8080/file/031312-173.jpg] всегда расположен внутри области [img: http://localhost:8080/file/031312-174.jpg] Л. п. в общем виде (1) применим и для произвольных областей [img: http://localhost:8080/file/031312-175.jpg] но заключение, относящееся к случаю равенства, здесь уже, вообще говоря, не справедливо. Л. п. позволяет получить многие количественные оценки изменения конформного отображения при вариации области (см. [3]). Он тесно связан с подчинения принципом, и его можно также рассматривать как обобщение Шварца леммы.