Линдемана теорема

показательная функция е z в любой алгебраич. точке [img: http://localhost:8080/file/031312-190.jpg] принимает трансцендентное значение; доказана Ф. Линдеманом (F. Lindemann, 1882). Л. т. называют также следующее более общее утверждение, сформулированное без доказательства Ф. Линдеманом и доказанное К. Вейерштрассом (К. Weierstrass) в 1885. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031312-191.jpg] - алгебраич. числа, [img: http://localhost:8080/file/031312-192.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031312-193.jpg] - попарно различимые алгебраич. числа, тогда [img: http://localhost:8080/file/031312-194.jpg] Это утверждение эквивалентно следующему: если [img: http://localhost:8080/file/031312-195.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031312-196.jpg] - алгебраич. числа, линейно независимые над полем рациональных чисел, то числа [img: http://localhost:8080/file/031312-197.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031312-198.jpg] алгебраически независимы. Метод доказательства Л. т. получил название м е-тода Э р м и т а - Линдемана. Он представляет собой развитие метода Эрмита, при помощи к-рого в 1873 была доказана трансцендентность числа е, и основывается на применении Эрмита тождества к нек-рым специально построенным многочленам. Из Л. т. может быть выведена трансцендентность числа p, отрицательное решение проблемы квадратуры круга, а также трансцендентность значений функций sinz, cosz, tgz при алгебраическом [img: http://localhost:8080/file/031312-199.jpg] и значений функций lnz при алгебраическом [img: http://localhost:8080/file/031312-200.jpg], 1.