Линейная краевая задача

численные методы решения - методы, позволяющие получить решение Л. к. з. в виде таблицы его приближенных значений в точках сетки, не используя предварительной информации об ожидаемом виде решения. Для теории этих методов типично предположение о том, что решение исходной задачи существует и имеет достаточное число производных. Благодаря отсутствию других предположений численные методы отличаются своей универсальностью. Основой численных методов решения Л. к. з. является замена исходной системы уравнений ее сеточной аппроксимацией. В случае интегро-дифференциальных уравнений такая аппроксимация обычно строится с помощью разностных схем и квадратурных формул. При этом возникают следующие проблемы: 1) насколько быстро точное решение сеточной задачи сходится к решению исходной задачи при измельчении сетки; 2) насколько решение сеточной задачи чувствительно к изменениям исходных данных; 3) как найти, хотя бы приближенно, решение сеточной задачи. При решении первой и второй проблем используется следующий аппарат. Пусть в замкнутой области Dзадано уравнение [img: http://localhost:8080/file/031314-19.jpg] а на ее границе Г, состоящей из компонент Г i,- граничные условия [img: http://localhost:8080/file/031314-20.jpg] Здесь заданные непрерывные функции [img: http://localhost:8080/file/031314-21.jpg] принадлежат нормированным линейным пространствам F, Ф i соответственно, а линейные операторы Lи li преобразуют нек-рое линейное подмножество Wнормированного линейного пространства Uфункций, непрерывных в D, в Fн Ф i соответственно. Пусть для аппроксимации уравнения (1) выбраны сетки Dh и [img: http://localhost:8080/file/031314-22.jpg] зависящие от положительного параметра h;нормированные линейные пространства Uh и Fh функций и h и fh, определенных в точках сеток [img: http://localhost:8080/file/031314-23.jpg] соответственно, а также линейный оператор Lh, преобразующий Uh в Fh. Для аппроксимации граничного условия (2) выбирается сетка [img: http://localhost:8080/file/031314-24.jpg] нормированное линейное пространство Ф ih функций [img: http://localhost:8080/file/031314-25.jpg] определенных в точках сетки Г ih, и линейный оператор lih, преобразующий Uh, в Ф ih- Кроме того, выбираются линейные операторы Ph и pih, преобразующие Fи Ф i в Fh, и Ф ih соответственно. В результате получается сеточная аппроксимация [img: http://localhost:8080/file/031314-26.jpg] исходной задачи (1), (2). Пусть через [img: http://localhost:8080/file/031314-27.jpg] обозначены следы функций [img: http://localhost:8080/file/031314-28.jpg] из пространств U, F, Ф i на сетках [img: http://localhost:8080/file/031314-29.jpg] соответственно. Исследование сходимости сеточных аппроксимаций и h к решению иисходной задачи при [img: http://localhost:8080/file/031314-30.jpg] имеет смысл производить лишь в сеточных нормах, согласованных с нормами в пространствах U, F, Ф i, т. е. при условии, что для любых функций [img: http://localhost:8080/file/031314-31.jpg] выполняются предельные соотношения [img: http://localhost:8080/file/031314-32.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/031314-33.jpg] то величина [img: http://localhost:8080/file/031314-34.jpg] наз. погрешностью аппроксимации задачи (1), (2) задачей (3), (4). Если и - решение задачи (1), (2), то величина [img: http://localhost:8080/file/031314-35.jpg] наз. погрешностью аппроксимации на этом решении. Говорят, что задача (3), (4) аппроксимирует задачу (1), (2) (или аппроксимирует ее на решении и), если [img: http://localhost:8080/file/031314-36.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/031314-37.jpg]) при [img: http://localhost:8080/file/031314-38.jpg] Порядок малости величины z(h).(или величины [img: http://localhost:8080/file/031314-39.jpg]) наз. порядком аппроксимации (или порядком аппроксимации на решении и). Пусть, напр., аппроксимируется уравнение теплопроводности. В квадранте [img: http://localhost:8080/file/031314-40.jpg] решается уравнение (1), где [img: http://localhost:8080/file/031314-41.jpg] при начальном условии [img: http://localhost:8080/file/031314-42.jpg] на полуоси [img: http://localhost:8080/file/031314-43.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031314-44.jpg] и граничном условии [img: http://localhost:8080/file/031314-45.jpg] на полуоси [img: http://localhost:8080/file/031314-46.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031314-47.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/031314-48.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031314-49.jpg] В качестве Fберется пространство непрерывных функций f (t, x).с нормой [img: http://localhost:8080/file/031314-50.jpg] а в качестве Ф 1 и Ф 2 - пространства непрерывных функций [img: http://localhost:8080/file/031314-51.jpg] с нормами [img: http://localhost:8080/file/031314-52.jpg] соответственно. Пространство Uможно считать совпадающим с F, а в качестве Wберется подмножество функций [img: http://localhost:8080/file/031314-53.jpg] имеющих непрерывные частные производные [img: http://localhost:8080/file/031314-54.jpg] в области D. Пусть Df, - множество точек [img: http://localhost:8080/file/031314-55.jpg] n=0, 1, 2,...; т=-1, 0, 1,..., где шаги сетки связаны функциональной зависимостью вида [img: http://localhost:8080/file/031314-56.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/031314-57.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031314-58.jpg] Множество [img: http://localhost:8080/file/031314-59.jpg] будет состоять из точек [img: http://localhost:8080/file/031314-60.jpg] m=0, 1, 2,.... В качестве Fh и Uh выбираются пространства сеточных функций fh (t, x).и uh (t, x).с согласованными нормами [img: http://localhost:8080/file/031314-61.jpg] Оператор Lh может быть определен соотношением [img: http://localhost:8080/file/031314-62.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/031314-63.jpg] Для аппроксимации начального условия берется сетка Г 1h, состоящая из точек (0, mh), m=0, 1, 2,...; пространство Ф 1h сеточных функций [img: http://localhost:8080/file/031314-64.jpg] с согласованной нормой Х [img: http://localhost:8080/file/031314-65.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031314-66.jpg] Для аппроксимации граничного условия берется сетка Г 2h, состоящая из точек [img: http://localhost:8080/file/031314-67.jpg] n = 0, 1, 2,...; пространство Ф 2h сеточных функций [img: http://localhost:8080/file/031314-68.jpg] с согласованной нормой [img: http://localhost:8080/file/031314-69.jpg] оператор 22h определяемый равенством [img: http://localhost:8080/file/031314-70.jpg] и оператор [img: http://localhost:8080/file/031314-71.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/031314-72.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031314-73.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031314-74.jpg] Если в качестве Wвзять более узкое множество функций [img: http://localhost:8080/file/031314-75.jpg] имеющих, кроме указанных ранее, ограниченные частные производные [img: http://localhost:8080/file/031314-76.jpg] в области D, то при [img: http://localhost:8080/file/031314-77.jpg] получают аппроксимацию второго порядка. Сеточную задачу [img: http://localhost:8080/file/031314-78.jpg] наз. корректной, если при достаточно малом hвыполняются следующие условия: эта задача разрешима при любых данных функциях [img: http://localhost:8080/file/031314-79.jpg] существует функция [img: http://localhost:8080/file/031314-80.jpg] не зависящая от h, стремящаяся к нулю вместе с [img: http://localhost:8080/file/031314-81.jpg] и такая, что [img: http://localhost:8080/file/031314-82.jpg] для любой функции [img: http://localhost:8080/file/031314-83.jpg] Решение корректной сеточной задачи равномерно по hнепрерывно зависит от данных функций. Корректность сеточной задачи является необходимым условием малой чувствительности ее решения к округлениям в процессе его вычисления. Если и - решение задачи (1), (2) и задача (3'), (4') корректна, то [img: http://localhost:8080/file/031314-84.jpg] Если, кроме того, задача (3), (4) аппроксимирует задачу (1), (2) на решении и, то [img: http://localhost:8080/file/031314-85.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/031314-86.jpg] Если выполняются условия согласования норм, условие [img: http://localhost:8080/file/031314-87.jpg] и условие (5), то, полагая uh=[u]h и переходя к пределу в неравенстве (5) при [img: http://localhost:8080/file/031314-88.jpg] получают неравенство [img: http://localhost:8080/file/031314-89.jpg] справедливое для любой функции [img: http://localhost:8080/file/031314-90.jpg] Таким образом, для исследования корректности краевых задач вида (1), (2) можно использовать такой путь: сначала получить оценку (5), а из нее оценку (7). С помощью оценок типа (5) часто удается доказать существование решения изадачи (1), (2) как предела сеточной аппроксимации и h при [img: http://localhost:8080/file/031314-91.jpg] Для полного решения проблемы нахождения приближенного решения задачи (1), (2) необходимо построить точный или приближенный метод нахождения решения аппроксимации (3), (4), обладающий свойством устойчивости к округлениям. При исследовании устойчивости полезно использовать понятие замыкания вычислительного алгоритма. В приведенном примере уравнение целесообразно решать прогонки методом по переменной х. Оценка (6) погрешности сеточного метода обладает тем недостатком, что в выражение функции [img: http://localhost:8080/file/031314-92.jpg] обычно входят производные от точного решения и. В нек-рых случаях удается априори (т. е. еще до решения задачи) оценить эти производные, однако такие оценки обычно оказываются грубыми. Несколько более точными являются оценки, в к-рых производные заменяются разностными отношениями приближенного решения и h. В основном же практич. оценка погрешности сеточных методов производится при помощи повторного решения задачи (3), (4) с различными hи последующего выделения главной части погрешности вида [img: http://localhost:8080/file/031314-93.jpg] где g - известный порядок малости погрешности. Так, если справедливо асимптотич. соотношение [img: http://localhost:8080/file/031314-94.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031314-95.jpg] Иногда удается получить уравнения для функции z, содержащие производные от точного решения и. Тогда можно решать их численно на более грубой сетке после решения исходной задачи и по получении главной части погрешности добавить ее к приближенному решению uh и тем самым уточнить его. В некоторых случаях при специальном выборе координатных функций вариационного или проекционного метода решения задачи (1), (2) получаются уравнения вида (3), (4), обеспечивающие сходимость не только к классическому, но и к обобщенному решению. Этот способ построения аппроксимаций, наз. иногда методом конечных элементов, предоставляет большую свободу в выборе сетки. Возможность целесообразно располагать узлы позволяет достигать требуемой точности при меньшем числе узлов сетки.