Линейная связность

1) Л. с. на дифференцируемом многообразии М - диф-ференциально-геометрич. структура на М, связанная с аффинной связностью на М. В каждой аффинной связности определяется параллельное перенесение вектора, позволяющее для каждой кривой L(х 0, x1).в Мопределить линейное отображение касательных векторных пространств [img: http://localhost:8080/file/031314-121.jpg] В этом смысле аффинная связность определяет нек-рую Л. с. на М, к к-рой относятся все понятия и конструкции, связанные только с перенесением векторов и вообще тензоров. Л. с. на Мявляется связностью в главном расслоении В(М).базисов в касательных векторных пространствах [img: http://localhost:8080/file/031314-122.jpg] и определяется одним из следующих трех эквивалентных между собой способов: 1) объектом связности [img: http://localhost:8080/file/031314-123.jpg] преобразующимся на пересечениях областей локальных карт по формулам [img: http://localhost:8080/file/031314-124.jpg] 2) матрицей 1-форм [img: http://localhost:8080/file/031314-125.jpg] на главном расслоенном пространстве В(М), состоящем из всех базисов во всех касательных пространствах [img: http://localhost:8080/file/031314-126.jpg] такой, что 2-формы [img: http://localhost:8080/file/031314-127.jpg] в каждой локальной координатной системе выражаются в виде [img: http://localhost:8080/file/031314-128.jpg] 3) билинейным оператором [img: http://localhost:8080/file/031314-129.jpg] ковариантного дифференцирования, к-рый двум векторным полям X, Y на Мставит в соответствие третье [img: http://localhost:8080/file/031314-130.jpg] и обладает свойствами: [img: http://localhost:8080/file/031314-131.jpg] где f - гладкая функция на М. Каждая Л. с. на Мопределяет однозначно нек-рую аффинную связность на М, канонически присоединенную к ней, к-рая определяется путем развертки любой кривой L(х 0, х 1).в М. Для получения этой развертки следует сначала определить n=dimМ линейно независимых параллельных векторных полей Х 1,..., Х п вдоль L, затем разложить по ним касательное к Lвекторное поле: [img: http://localhost:8080/file/031314-132.jpg] и, наконец, найти в [img: http://localhost:8080/file/031314-133.jpg] решение x(t).дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/031314-134.jpg] при начальном значении x(t)=0. В произвольной точке xt кривой Lаффинное отображение касательных аффинных пространств [img: http://localhost:8080/file/031314-135.jpg] определяется теперь отображением реперов [img: http://localhost:8080/file/031314-136.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/031314-137.jpg] Л. с. часто отождествляется с аффинной связностью, канонически к ней присоединенной, используя взаимно однозначное соответствие между ними. 2) Л. с. в векторном расслоении - дифференциально-геометрич. структура на дифференцируемом векторном расслоении [img: http://localhost:8080/file/031314-138.jpg] к-рая каждой кусочно гладкой кривой L в В с началом х 0 и концом х 1 сопоставляет линейный изоморфизм слоев [img: http://localhost:8080/file/031314-139.jpg] как векторных пространств - параллельное перенесение вдоль L. Л. с. определяется горизонтальным распределением на главном расслоенном пространстве Рбазисов в слоях, к к-ррму присоединено данное векторное расслоение. Аналитически Л. с. задается такой матрицей 1-форм [img: http://localhost:8080/file/031314-140.jpg] на Р, где [img: http://localhost:8080/file/031314-141.jpg] пробегают множество значений, мощность к-рого равна размерности слоев, что 2-формы [img: http://localhost:8080/file/031314-142.jpg] полубазовы, т. е. над каждой локальной координатной системой (х i).на Ввыражаются в виде [img: http://localhost:8080/file/031315-1.jpg] Горизонтальное распределение определяется при этом дифференциальной системой [img: http://localhost:8080/file/031315-2.jpg] на Р.2-формы [img: http://localhost:8080/file/031315-3.jpg] наз. формами кривизны. Согласно теореме о голономии они определяют группу голономии Л. с. 3) Л. с. в расслоенном пространстве - связность, при к-рой касательные векторы горизонтальных кривых с началом в данной точке урасслоенного пространства Еобразуют векторное подпространство [img: http://localhost:8080/file/031315-4.jpg] Л. с. определяется горизонтальным распределением [img: http://localhost:8080/file/031315-5.jpg]