Линейная форма от логарифмов

алгебраических чисел - выражение вида [img: http://localhost:8080/file/031315-177.jpg] Эффективные оценки снизу для |L| в предположении, что коэффициенты [img: http://localhost:8080/file/031315-178.jpg] - рациональные или алгебраич. числа, а [img: http://localhost:8080/file/031315-179.jpg] -фиксированные ветви логарифмов, линейно независимые над полем Q, играют большую роль в теории чисел. Когда [img: http://localhost:8080/file/031315-180.jpg] -рациональны, выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/031315-181.jpg] где B = max |Bi|, a c1>0 и-зависит только от чисел a1..., an. Методы, с помощью к-рых устанавливаются нетравиальные оценки снизу для |L|, принадлежат теории трансцендентных чисел. В случае n=2 ряд неравенств, справедливых для В, превосходящих нек-рую эффективно вычислимую границу, получен А. О. Гельфондом (1935-49). Лучшее из них имеет вид [img: http://localhost:8080/file/031315-182.jpg] В 1948 им же доказано, что при любом пдля всех достаточно больших Вимеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/031315-183.jpg] Последний результат был, однако, лишь теоремой существования, а граница для В, начиная с к-рой выполнялось это неравенство, из доказательства не могла быть определена. Эффективные оценки |L| при любом n были получены в 1966 А. Бейкером (см. [2]) на основании метода Гельфонда. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031315-184.jpg] - ненулевые алгебраич. числа, высоты и степени к-рых не превосходят соответственно Aи d, [img: http://localhost:8080/file/031315-185.jpg] Пусть, далее, [img: http://localhost:8080/file/031315-186.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/031315-187.jpg] - главные значения логарифмов. Если существуют целые рациональные b1,..., b п, [img: http://localhost:8080/file/031315-188.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/031315-189.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/031315-190.jpg] В связи с различными задачами получено большое количество эффектных оценок Л. ф. от л. Степенная по порядку величины Воценка для |L| впервые была получена в 1968 Н. И. Фельдманом [3]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/031315-191.jpg] - алгебраич. числа, [img: http://localhost:8080/file/031315-192.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031315-193.jpg] - фиксированные ветви логарифмов, линейно независимые над Q. Существуют эффективные постоянные [img: http://localhost:8080/file/031315-194.jpg] такие, что для любых алгебраич. чисел b0, b1,...,b п, высота к-рых не превосходит В, имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/031315-195.jpg] (постоянные с 2 и [img: http://localhost:8080/file/031315-196.jpg] явно выписываются в зависимости от чисел a1..., an и степенен b0,..., bn). С помощью оценок Л. ф. от л. алгебраич. чисел найдены границы для решений различных классов диофантовых уравнений (уравнений Туэ, гиперэллиптич. уравнений, уравнений, задающих кривые рода I, и др.). Оценки Л. ф. от л. позволили определить границы для дискриминантов мнимых квадратичных полей с числом классов 1 и 2. В теории чисел применяются также р-адические аналоги теорем об оценках Л. ф. от л. алгебраич. чисел.