Линейного сопряжения задача

задача Римана, задача Гильберта, задача Гильберта - Привалова, задача Римана - Привалова, - одна из основных граничных задач теории аналитических функций, формулируемая в простейшем случае следующим образом. Пусть L - простой гладкий замкнутый контур, делящий плоскость на внутреннюю область D+ и дополнительную к ней область D-, содержащую бесконечно удаленную точку. Пусть на Lзаданы две функции G(t).и g(t), удовлетворяющие условию Гёльдера (условию Н), причем [img: http://localhost:8080/file/031316-42.jpg] всюду на L. Требуется найти две функции [img: http://localhost:8080/file/031316-43.jpg] аналитические соответственно в [img: http://localhost:8080/file/031316-44.jpg] непрерывные вплоть до контура, за исключением конечного числа точек tk, где для них допустимы разрывы при соблюдении условия [img: http://localhost:8080/file/031316-45.jpg] удовлетворяющие на контуре Lкраевому условию [img: http://localhost:8080/file/031316-46.jpg] при этом функция G(t)наз. коэффициентом задачи. Целое число [img: http://localhost:8080/file/031316-47.jpg] наз. индексом коэффициента G(t).и одновременно индексом Л. с. з. Пусть отыскивается решение, удовлетворяющее условию [img: http://localhost:8080/file/031316-48.jpg] Тогда при m>0 однородная Л. с. з. (т. е. когда [img: http://localhost:8080/file/031316-49.jpg]) и неоднородная Л. с. з. безусловно разрешимы; решения зависят линейно от к произвольных постоянных и выражаются линейно через многочлен степени m-1 с произвольными коэффициентами. При m=0 однородная Л. с. з. имеет лишь тривиальное нулевое решение, а неоднородная задача разрешима безусловно и однозначно. При m<0 однородная задача имеет лишь нулевое решение, неоднородная задача - единственное решение лишь при выполнении |m| условий разрешимости, к-рые могут быть выражены линейно через многочлен с произвольными коэффициентами. Решение Л. с. з. во всех случаях представляется в замкнутой форме - в квадратурах через интегралы типа Коши. Предельные значения искомых функций на контуре необходимо удовлетворяют условию Н. Перечисленные выше результаты без изменения переносятся на случай многосвязной области D+, ограниченной конечным числом простых взаимно непересекающихся замкнутых кривых. Случай контура, составленного из разомкнутых кривых, представляет ту особенность, что на концах кривых контура решения Л. с. з., в зависимости от выбираемого класса решений, могут обращаться в бесконечность или оставаться ограниченными. Индекс зависит от выбираемого класса решений. Индекс в классе решений с допустимой на конце бесконечностью порядка меньше единицы (интегрируемая бесконечность) на единицу больше, чем индекс в классе ограниченных на этом конце решений. Соответственно этому на единицу увеличивается число линейно независимых решений или уменьшается число условий разрешимости. Аналогичное положение имеет место в случае, когда коэффициент G(t).имеет разрывы 1-го рода; решение в точках разрыва ведет себя так же, как на концах контура. В общем случае, когда контур состоит из конечного числа расположенных как угодно замкнутых и разомкнутых кривых, Л. с. з. решается теми же методами, что и упомянутые выше простые случаи; при этом получаются аналогичные результаты. Нек-рые трудности представляет исследование решения в точках, где встречается несколько кривых контура. В случае, когда G(t), g(t).только непрерывны, но не удовлетворяют условию Н, сформулированные выше результаты остаются в силе, за исключением того, что здесь предельные значения решений существуют лишь при стремлении к контуру по некасательным путям, при этом они не непрерывны, а [img: http://localhost:8080/file/031316-50.jpg] с любым р>0; если функция G(t).непрерывна, [img: http://localhost:8080/file/031316-51.jpg] то и [img: http://localhost:8080/file/031316-52.jpg] Наиболее общим предположением для коэффициента G(t), при к-ром решена Л. с. з., является класс измеримых функций с нек-рым дополнительным условием на величину скачка аргумента; при этом [img: http://localhost:8080/file/031316-53.jpg] Рассматривались Л. с. з. с бесконечным индексом, в к-рых в качестве контуров брались простые гладкие кривые с одним или обоими концами, уходящими в бесконечность. Исследованы случаи: 1) степенного порядка роста, когда при [img: http://localhost:8080/file/031316-54.jpg] выполняются асимптотич. равенства [img: http://localhost:8080/file/031316-55.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/031316-56.jpg] для случая одного бесконечного конца, [img: http://localhost:8080/file/031316-57.jpg] для обоих бесконечных концов); 2) логарифмического порядка, когда при [img: http://localhost:8080/file/031316-58.jpg] [img: http://localhost:8080/file/031316-59.jpg] В обоих случаях при положительном бесконечном индексе число линейно независимых решений бесконечно и выражается через целую функцию, вид к-рой зависит от порядка индексов. При отрицательном бесконечном индексе однородная задача не имеет нетривиальных решений, а неоднородная разрешима лишь при выполнении бесконечного множества условий разрешимости. Главную трудность представляет выделение конечных решений. Исследовалось решение Л. с. з. на римановой поверхности и равносильной ей задачи на фундаментальной области автоморфной функции, принадлежащей нек-рой группе подстановок, в автоморфных функциях этого класса. Число решений или условий разрешимости зависит от индекса, а в нек-рых (особых) случаях также от рода поверхности или фундаментальной области. Если в условии (*) считать Gматрицей, а Ф ±, g векторами (re-мерными), то возникает Л. с. з. для кусочно аналитического вектора. Этот случай значительно сложнее, чем рассмотренный выше скалярный случай (n=1). Исследование производится сведением к системе интегральных уравнений. Число линейно независимых решений или условий разрешимости зависит от пнезависимых величин, наз. частными индексами, зависимость к-рых от матрицы коэффициентов в явном виде не установлена. Важную роль играет индекс определителя матрицы G, наз. суммарным индексом задачи. Впервые Л. с. з. (для кусочно аналитич. вектора) встречается у Б. Римана (В. Riemann, см. [1]) в связи с решением задачи о построении линейного дифференциального уравнения по заданной группе подстановок (группе монодромии). Однако в том примерно виде, как она сформулирована выше, Л. с. з. была впервые рассмотрена Д. Гильбертом (1905, см. [2]) при менее общих условиях; первые результаты (альтернативного характера) были получены им путем сведения к интегральному уравнению. И. Племель (1908, см. [3]), использовав впервые интегралы типа Коши, свел векторную Л. с. з. к интегральному уравнению и полностью решил поставленную Риманом задачу дифференциальных уравнений. Неоднородную Л. с. з. (в несколько иной постановке) впервые рассмотрел И. И. Привалов [4]; его результаты относятся главным образом к теоретико-функциональным обобщениям. Л. с. з. имеет большое число приложений. Главные из них - в теории сингулярных интегральных уравнений. Даны обобщения в различных направлениях - т. н. Л. с. з. со сдвигом, сопряжением, дифференциальная, для обобщенных аналитич. функций и другие. Теория Л. с. з., ее обобщений и приложений наиболее полно отражена в [5], [6].